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烟台芝罘区数学20152016高三专题复习数列求通项方法及经典练习(含答案).doc

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烟台芝罘区数学20152016高三专题复习数列求通项方法及经典练习(含答案).doc

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文档介绍:山东省烟台市芝罘区数学2021-2021高三专题复****br/>-数列〔1〕求通项方法及经典练****含答案〕
烟台乐博士教育特供 明老师整理
定义法:
直接求首项和公差或公比。
2、公式法:
两种用途〔列举〕,结果要验证能否写成统一的式子.
例、数列的各项都为正数,且满足,求数列的通项公式.
解一:由得化简得,因为,
又得,故是以1为首项,2为公差的等差数列,所以.
解二:由,可得
化简可得,即,
又,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,
∴,从而,所以,又也适合,故.
练****数列{a n}的前n项和S n满足〔〕,a1=,求.
答案:a n=.
扩展一:作差法
例、在数列中,,,求.
解:由,得,
两式相减,得,∴.
练****理〕:数列满足,求.
解:由,
得,两式相减,得,
即,所以又由,得,那么,代入上式,得,
所以,的通项公式为.
扩展二、作商法
例、在数列中,,对所有的,都有,求.
解:∵,∴,故当时,两式相除,得,
∴.
3、 叠加法:对于型如类的通项公式.
例、在数列{}中,,,求通项公式.
答案:.
例、数列满足〔〕,,求通项.
解:由,两边同除以,得,列出相加得
又由求得,∴.
练****数列满足,求数列的通项公式.
答案:.
4、叠乘法:一般地,对于型如=(n)·的类型
例〔理〕、数列满足,求数列的通项公式.
解:因为,所以,那么,故,所以数列的通项公式为.
练****在数列{an}中,,≥2〕,求. 答案:.
5、构造法:型如a n+1=pa n+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)的数列
(1)f(n)= q (q为常数) 一般地,递推关系式a +1=pan+q (p、q为常数,且p≠0,p≠1)等价与,那么{}为等比数列,从而可求.
例、数列满足,〔〕,求通项.
解:由,得,又,所以数列是首项为,公比为的等比数列,∴.
练****数列的递推关系为,且,求通项.
答案:.
(2) f(n)为等比数列,如f(n)= q n (q为常数) ,两边同除以q n,得,令,那么可转化为bn+1=pbn+q的形式求解.
例、数列{a n}中,a1=,,求通项.
解:由条件,得2 n+1a n+1=(2 na n)+1,令b n=2 na n,那么bn+1=bn+1,bn+1-3=〔bn-3〕
易得 b n=,即2 na n=, ∴ an=.
练****数列满足,,求通项.
答案:.
(3) f(n)为等差数列,如型递推式,可构造等比数列.〔选学,注重记忆方法〕
例、数列满足,〔〕,求.
解:令,那么,∴,代入条件,
得,即,
令,,解得A=-4,B=6,所以,且,
∴是以3为首项、以为公比的等比数列,故,故.
点拨:通过引入一些尚待确定的系数,经过变形与比拟,把问题转化成根本数列〔等差或等比数列〕求解.
练****在数列中,,,求通项.
答案:.
解:由,得,令,
比拟系数可得:A=-6,B=9,令,那么有,又,∴
是首项为,公比为的等比数列,所以,故.
(4) f(n)为非等差数列,非等比数列
法一、构造等差数列法
例、在数列中,,其中,求数列的通项公式.
解:由条件可得,∴数列是首项为0,公差为1的等差数列,故,∴.
练****在数列{an}中,,求通项。
答案.
解:由条件可得:,∴数列是首项为、公差为2的等差数列。
法二、构造等比数列法
例、⑴在数列中,,,,求;
⑵在数列中,,,,求.
解:⑴由条件
∴ 故, 叠加法得:;
⑵由条件可得〔等比数列〕, 故=.
点拨:形如的复合数列,可把复合数列转化为等差或等比数列,再用初等方法求得.
例、数列满足,,求数列的通项公式.
解:设,将条件代入此式,整理后得
,令,解得,
∴有,又,
且,故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,∴,故.
5、递推法〔迭代法〕:
例、设数列是首项为1的正项数列,且,求数列的通项公式.
解:由题意知,将条件变形,得,
又,得,所以,即,到此可采用:
法一〔递推法〕:,从而.
法二〔叠成法〕:所以 .
法三〔构造法〕:由,得,故是常数列,.
点拨:解法一是迭代法,这是通法;解法二是叠乘法,适合由条件求通项的题型;解法三是构造法〔简单+经典〕,根据条件特点构造特殊数列求通项,技巧性较强,表达了转化思想.
例、数列满足,求数列的通项公式.
解:由,得〔两边除以〕,得,即,


∴,即
练****数列中,,求通项公式.〔尝试叠加法〕