文档介绍：构造辅助函数法在微积分证明中的运用
石琼芳
【摘 要】 《数学分析》的微积分证明中，证明某个问题的结论 时，经常会遇到通过已有的条件无法直接推导证明出结论， 而这时可 以尝试运用构造函数法，根据命题中的条件，将结论变换，从而构造 出一个辅助函数， 再运用有关的定理结论推导出命题的结论， 这往往 对命题的证明能起到事半功倍的结果。 构造函数法是一种重要的数学 方法，其构造方法思路也是多种多样的， 本文通过构造函数法在一些 著名的定理， 公式以及经典例题的运用， 尝试找出如何构造辅助函数 的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函 数法的一些思路。
【关键词】 构造函数法 微积分 等式 微分中值定理 极值
微积分学是数学分析中的核心内容，其命题十分的抽象复杂。因此，在微积 分中常见命题的解决时， 通常会遇到这样的问题： 对于与命题相关的定理与知识 所熟悉，但不知如何通过题设，运用定理来解题。这时，单凭对定理的一般运用 是无法解决问题的， 而是需要构造出一个既能运用题设条件又能应用相关定理得 辅助函数， 将抽象的关系通过具体的函数表达出来， 转化为比较直观的， 易于解 决的问题。
构造函数法在数学领域中广泛地被采用着，它们所起的作用是桥梁式的作 用，甚至有些是起着无法替代的作用。 所谓构造函数法， 就是利用数学中的概念 和方法，按固定的模式经过有限个步骤能够定义的概念和能都实现的方法。 而构 造函数，简而言之，就是为了使某一数学命题或者某一数学概念通过已知的数学 概念和方法， 人为地构造出来的函数， 这些函数的存在， 往往依赖于已知命题的 函数的存在，在条件的约束下，去达到证明或者说明某种结论或概念的正确性。 在本文，将在不等式证明这个领域中分别讨论构造函数法的运用， 将会解决构造 函数法在这个领域中运用的一些思路和如何构造辅助函数的方法。 再探讨这些方 法时，首先，对一些经典的定理以及公式的证明进行分析， 找到这些证明的思路， 进而将这些思路运用到一些具体的实例当中， 进行探讨验证， 最后在总结出完成 这些思路的一类方法。
“构造函数法”是微积分学里经常用来证明一些重要定理的重要方法。许 多文献中， lagrange 中值定理，罗尔定理和 Cauchy 定理的证明都运用到了构造 辅助函数，其推理过程简单明了。
一、 构造辅助函数法在微分中值定理证明中的运用及其引申
微分中值的定理证明代表着构造函数法的一个重要的思路， 这个思路是当构
造一个辅助函数时，其辅助函数的构造的条件必须满足现有某个已证定理的条 件，进而解决问题。具体的来说罗尔定理证明中是构造出了满足 Fermat引理的
函数，进而推导出了结果；而lagrange中值定理和Cauchy定理则都是构造出了 满足罗尔定理条件的辅助函数，来推导出了最终的结果。构造函数法的思想是十 分发散的，所以其在微分中值定理的证明中的辅助函数的构造也是多种多样的， 这种多态化的思想启发出，在使用构造函数法时，我们可以使用各种所学知识， 根据命题条件，构造出满足题意的辅助函数来。
微分中值定理的证明实现了函数与导数之前的沟通， 是利用导数的局部性质 研究函数整体性质的重要工具。以微分中值定理为基础的各种中值问题， 成为数 学分析中的重要内容。这类问题的常见形式是：设函数 f(x)在［a,b］上连续，在 (a,b)上可导，且满足某些附加条件，求证存在一点 z(a,b)使得某个含有z的等 式成立。
处理这类问题，关键在于如何构造出能够满足罗尔，lagrange定理和Cauchy 定理条件的辅助函数。通常采用的构造函数方法大多限于几个初等的试探方法， 比如，利用函数的几何图像，借助于行列式等。用这些方法构造函数往往需要很 高的技巧，实际处理具体问题不好运用和掌握。如果考虑到 lagrange中值定理
和Cauchy中值定理是罗尔中值定理的推广形式，罗尔中值定理的结论为一个导 数形式，那么构造辅助函数其实就是要寻找一个能够满足罗尔中值定理条件的原 函数，这样，我们可以利用微分运算的逆过程一一积分运算，来构造辅助函数， 以解决有关微分中值的问题。
二、 构造辅助函数法在newton-leibniz 公式证明中的运用
b
这个著名的牛顿一莱布尼茨公式 .f(x)dx二F(x)|：里的F(x)连续函数f (x)
a
在a,b i上的一个原函数。在证明了这一结论的过程中，非常巧妙的运用了积分
x
上限函数 (x . f (t )d t，这是个 构造函数，最大的特点就 是满足
a
(x^ f(x。正是由于有了这个函数，才最终证明了这个可以说是积分中非常 重要的公式。
三、 构造辅助函数法结合微分中值定理证明等式
众多等式命题的证明中，结合微分中