文档介绍：25k-
5k2 +4
y0 — k(x0 — 5) = k(■
25k2
5k2+4
一 5)=
-20k
5k2+4
又|F2C| = |F2DI = F2R _\_l O k ,k
f2r
=-l
2012届全国百套高考数学模拟试题分类汇编
08圆锥曲线
三、解答题(第一部分)
2 2
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设乌、E分别是椭圆y+^= 1的 左、右焦点.
(I )若P是该椭圆上的一个动点，求所•而的最大值和最小值；
(II)是否存在过点A (5, 0)的直线/与椭圆交于不同的两点C、D,使得F2C| = |F2D|?若存在，求直线7 的方程；若不存在，请说明理由.
解：(I)易知 a = V^,》= 2,c = l". § =(—1,0),丹(1,0)
设 P (x, y),则 Pq • PF2 = (-1 -x,-y) - (1 -x,-y) = x2 + y2 -1
5 4 T 1 ,
Jr + 4 ——Jr -l = —x~ + 3
5 5
X € [—a/5^, a/5 ],
.•.当x = 0，即点P为椭圆短轴端点时，丽•无有最小值3；
当x = +V5，即点P为椭圆长轴端点时，丽•无有最大值4
(II)假设存在满足条件的直线/易知点A (5, 0)在椭圆的外部，当直线/的斜率不存在时，直线/与椭 圆无交点，所在直线/斜率存在，设为k
直线/的方程为y = k(x-5)
(2 2
土+匕=1
由方程组，5 4 一，得(5好+4)》2—50广工+125好—20 = 0
y = ^(x-5)
依题意△ = 20(16 —80摩)〉0,得—季
当——^―< k < —^―时，设交点 C(jV],'])、Z)(x2,y2) > CD 的中点为 R(io，Vo),
e 5Qk2 x, +
则 X, + x? = , x0 =
1 - 5k-+4 ° 2
f2r
0( 20*
i*74) 20 广
一 Z^oF = t
25k2
1 —, 5k2 +4
,-.20k2=20k2-4, W 20k2=20k2-4 不成立， 所以不存在直线/,使得 F2C| = |F2D
综上所述，不存在直线/,使得F2Ch|F2D
2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P (1, 0),且与定直线L:x=-1相切，点C在/上.
求动圆圆心的轨迹M的方程；
设过点P,且斜率为- V3的直线与曲线M相交于A,B两点
问：AABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由
当八ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线/为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y?=4x.
(2)⑴由题意得，直线AB的方程为:y = -V3(x-
1)由忙项xT)
消去y得:
1 1 Q /O 1 ZS
3x2 — 10x + 3 = 0,解得g = 一心=),B(3,-2a/3),I AB 1= x】+ x, + 2 =—.
3 3 3
假设存在点C (-1, y),使ZkABC为正三角形,贝lJ|BC| = |AB|且|AC| = |AB|,即
(3 +1)2 + (y + 2a/3)2 = (—-)2, 4 2J3 14J3 _
1 2 16 相减得：4之+(y+ 2心)2 =(了)2+(y )2,解得 一(不符，舍)
(» + (y"(*2 3 3 9
因此，直线/上不存在点C,使得AABC是正三角形.
(ii)解法一：设C ( — 1, y)使AABC成钝角三角形, 由［了二［户* T)得y = 2陌,此时A,B,C三点共线，故y ^2^3.
又 IAC|2=(一1亨+—罕)2=学一埠+y2,|AB|2=(?)2=*
当 IBClSl ACI2 +IABI2,即2 8 + 4V3y + y2 >y-^y + y2 +号,即时, ZCAB为钝角.
当 I AC|2>IBC|2 +1 AB F,即?一^j^y + y2 > 28 + 4V3y + y2+ —
y <-—V3时/CBA为钝角.
3
又 I ABI2>I AC I2 +IBCI2,BP^>y-^y^ + y2 + 28 + 4V3y + y2
艮P：y2+|V3y + |<0,(y + -^)2 <0
该不等式无解，所以ZACB不可能为钝角.
因此，当AABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：
〉<-¥或〉>孕("2占)
解法二：以AB为直径的圆的方程为：
（x-|）2 + （y + |V3）