文档介绍：高等数学复****题
第一章一元函数微积分概要
①.
lim
n—>oo
=lim [ 1 + —
n
n
I = lim
"Too
i+2
n
n
,3
②.
x-1
=lim . " =-
5 Jr+x + Jr+l 2
③.
X -x X , -x
e -e e +e lim = lim = 2
xto sin x xt° cos x
lim| xsin- + -sinx
X X
「 . I 「 sinx 八 1 1
=limxsin —+ lim = O + l = I
X 10
x->0
⑤.
Inx ~T =lim e x iO+
lim x' = lim eln v' = lim e'vln v
xtO+ xtO+ xtO+
=lim e x2 = lim e~x =e° =1
10+ xtO+
⑥.
p2 * 2
I sint dt lim& xtO
「 2xsin x k =hm
x6 io 6x5
= -lim
3 5
sin x _ I
x4 ~3
.设 y = arctan ex,求 yr, yn, dy
, 1
解：y
!2 l + e2v
dy =
—e—rdx l + e2'
+ e2'
+ e2T
ev-e2v-2 _ e' (l-e~2
②.设 y = f(x2),求
解：yf - ff(x2)x2x = 2xf\x2)
' ) 切线斜率k[ = -e，则法线斜率k2=-
e
切线方程为(y — 1 = -ex) ex + y -1 = 0，法线方程为(y — 1 =上x)x -ey + e = 0 e
⑤.设 f f(t)dt = xcos x /(x).
解：f(x) xcosx) = cosx-xsinx
求函数y = 2.? - 6x2 —18x — 7的单调区间与极值.
e3x - 2 sin = | (3x) - 4 jsin |^ (|)-
1 —e 3
,3%
+ 4cos—+ C
2
i i c
(g) JrVl-r2^ JVl-r26/(l-r2) = - —x —x(^l-r
,2
1 I /
2+C =——(1-r 3V
,2
3
2+C
x
=[/ 1 d(l + lnx) = 2\/l + ln』+ C
J Vl + lnx
④[xsin 7rxdx =
—f xd(cos 71X)—
"由 n
XCOS 7TX
1 - I* cos 7ixdx
0 Jo )
71
解：y'= 6尸—12x-18 令 y' = 0 则 x = — 1 或 x = 3
1
(-0-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+8)
y
+
0
-
0
+
/
极大
极小
7
pl x2
⑤[i dx
解：设x = sin「,
71
I，当i = 0时，『=0；当x = l时，— ~
71 • 2 ,
^Sin t , fr
cos tat = I2
，cost ”
£ 1-cos 2t 7 t
—— at =—
” 2 2
71
1 71
2 一 cos 2^(2?) =-
0 4 4
=xlnx
]ln x-—=『In xdx -
C re
1 = c -1 - } dx — 0
•2"
sinxrfx+ (- sin x)dx =
J兀
⑦.| sin x\dx
-cosx
n
+ COSX 0
2ji
=4
71
dx
+ Vx
解：设t =五,则尤=，2,dx = 2/=0 时，■ = ();当 x = 4 时，t - 2
1*2
⑨L
1
3 + x
dx
1 + y[x
= 2(l + ln|)
f2
⑩ £ f(x)dx，其中 f(x) = <
2xe~x2 •••%<!
3x2 x>l
•2
•2
解：I f (x)dx = (f (x)dx+ J f(x)dx = f
lxe~x2 dx+ f 3x2dx = -e
-x2
2-8 1
1 e
第二章微分方程
解：分离变量：—=xdx 两边积分:
y
xdx
lny = ； + Cq
y = Cey(C = ec')
两边积分:
y = e2y-\y(0) = -| 解