文档介绍：第四讲数列与探索性新题型的解题技巧
【命题趋向】
从 2007 年高考题可见数列题命题有如下趋势：
等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有
解答题；难度易、中、难三类皆有 .
数列中an与&之间的互化关系也是高考的一个热点 .
函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，
解答试题时要注意灵活应用 .
解答题的难度有逐年增大的趋势 , 还有一些新颖题型 , 如与导数和极限相结合
等.
因此复****中应注意：
数列是一种特殊的函数，学****时要善于利用函数的思想来解决 . 如通项公式、前
n 项和公式等 .
运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本
量&、d （或q）,掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而
不求，整体代入”来简化运算 .
分类讨论的思想在本章尤为突出 . 学****时考虑问题要全面，如等比数列求和要注
意q=1和q乎1两种情况等等.
等价转化是数学复****中常常运用的， &的转化；将一些数
列转化成等差（比）数列来解决等 . 复****时，要及时总结归纳 .
深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是
学好本章的关键
解题要善于总结基本数学方法 . 如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、
归纳法、数形结合法，养成良好的学********惯，定能达到事半功倍的效果 .
7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应
用.
【考点***】
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种
方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 .
2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公
式解答简单的问题 .
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公
式解决简单的问题 .
4．数列是高中数学的重要内容，又是学****高等数学的基础，所以在高考中占有重
要的地位 . 高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗
，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，
试题大多有较好的区分度 . 有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数
函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求
极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出
现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与
化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法
应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题
转化为数学问题来解决 .
【例题解析】
考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式
理解数列的概念，正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公
式.
典型例题
例1. （2006年广东卷）在德国不来梅举行的第 48届世乒赛期间，某商店橱窗里
用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第 1堆只有1层，就一
个球；第2, 3, 4,…堆最底层（第一层）分别按图
4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自
然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球, 以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f 3 ; f⑻——（答案用n表示）.
思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是 12,3,4,…推测出第n层的
球数。
解答过程：显然f 3 10.
第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，an a1a2 "I an七1 ,第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球的低层数之和，即f n a1a2 III an 1（12 22 1H n2） 2nJLl.
所以:
f(n)
1,偶数换成0,得到如图所
例2. （2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成
示的0-，第 1次全行的数都为1的是第1行，第2次全
行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第行；第61
行中1的个数是.
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第 5 行 1 1 0 0 1 1
思路启迪：计算图形中相应 1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。
解：第1次全行的数都为1的是第2 1 = 1行，第2次全行的数都为1的是第22 1=3
行，第3次全行的数都为1的是第23 1=7行，，第n次全行的数都
为1的是第2n 1行；第61行中1的个数是25 1
=3