文档介绍：线性代数模型? Durer 魔方?植物基因的分布?常染色体的隐性疾病?森林管理问题?马氏链简介有些复杂问题,往往给人以变幻莫测的感觉,难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间,利用线性代数的基本知识建立模型,就可以掌握事物的内在规律,预测其发展趋势。线性代数模型 Durer 魔方德国著名的艺术家 Albrecht Durer (1471--1521) 于 1514 年曾铸造了一枚名为“ Melen cotia I ”的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币右上角的数字问题。 1 Durer 魔方 16 594 3 10 6 15 2 11 7 14 13 8 12 1 特点每行之和、每列之和、对角线之和、四个小方块之和、中心方块之和都相等, 为确定的数 34 。所出现的数是 1至 16 的自然数。四角之和、中间对边之和均为 34 。最下边一行中心数为 1514 ,正是制币的时间。问题是否还存在具有这些(或部分)性质的魔方? 09 15 1 6 10 09 1699 18 016 09 16 1 7 10 09 1799 18 017 10 140 70 120 80 110 20 130 100 50 160 30 150 40 90 60 定义如果 4×4数字方,它的每一行、每一列、每一对角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数,则称这个数字方为 Durer 魔方。 R=C=D=S 你想构造 Durer 魔方吗? 如何构成所有的 Durer 魔方? Durer 魔方有多少? 2 Durer 魔方的生成集所有的 Durer 魔方的集合为 D 0000 0000 0000 0000 O=1111 1111 1111 1111 E= R=C=D=S=0 R=C=D=S=4 a 11a 21a 31a 41a 12a 22a 32a 42a 13a 23a 33a 43a 14a 24a 34a 44 A=b 11b 21b 31b 41b 12b 22b 32b 42b 13b 23b 33b 43b 14b 24b 34b 44 B= 类似于矩阵的加法和数乘,定义魔方的加法和数乘。易验证, D 加法和数乘封闭,且构成一线性空间。记 M ={ 所有的 4×4数字方} ,则其维数为 16 。而D是M的子集,则 D是有限维的线性空间。根据线性空间的性质,如果能得到 D的一组基, 则任一个 Durer 方均可由这组基线性表示。由 0,1 数字组合,构造所有的 R=C=D=S=1 的魔方。共有 8 个,记为 Qi, i=1,2, …,8。 Q1= 1000 0001 0100 0010 Q2= 1000 0010 0001 0100 Q3= Q4= 0100 0001 0010 1000 0010 0100 0001 1000 Q5= 0100 0010 1000 0001 Q6= 0010 1000 0100 0001 Q7= 0001 0100 1000 0010 Q8= 0001 1000 0010 0100 易知0 76328541????????QQQQQQQQ则 821QQQ,,,?线性相关。而由0 77665544332211???????QrQrQrQrQrQrQr0000 0000 0000 0000 21rr? 6r 75rr? 43rr? 53rr? 74rr? 2r 64rr? 52rr? 3r 71rr? 61rr? 7r 31rr? 42rr? 65rr?=0 7654321???????rrrrrrr 721QQQ,,,?线性无关。任一 Durer 方可由它们线性表示。