文档介绍：２０２１ 年 ５ 月 １０ 日 理科考试研究·数学版 ·１５·
因式分解在几何问题中的应用研究
周丽芳
（苏州市春申中学 江苏 苏州 ２１５０００）
摘 要：因式分解与分式和整式有密切的关系，在几何问题的求解过程中，也常用到因式分解． 将因式分解概念应
用到几何问题中，能够快速准确地进行相关问题求解．
关键词：因式分解；几何；方程式
１ 运用因式分解判断几何图形形状 ａ － ｂ － ｃ ＜ ０．
例题 １ 已知△ＡＢＣ 的三边长度分别为 ａ，ｂ，ｃ，且 从而可以证明 ａ２ － ｂ２ － ｃ２ － ２ｂｃ ＜ ０．
ａ ａ ｂ ＋ ｃ ［１］ ４ Ｒｔ △ＡＢＣ
三边长度满足 ＋ ＝ ，判断三角形形状 ． 例题 已 知 中
ｂ ｃ ｂ ＋ ｃ － ａ ∠ＢＡＣ ＝ ９０°，如图 １ 所示，ＡＣ ＞ ＡＢ，
ａ ａ ｂ ＋ ｃ
＋ ＝ 其中 ＡＤ 为 ＢＣ 边上的高，Ｍ 是 ＢＣ
解析 对 ｂ ｃ ｂ ＋ ｃ － ａ通分，得
ＢＭ２ － ＤＭ２ ＝ ＡＤ２ ．
ａ ｂ ＋ ｃ ｂ ＋ ｃ 的中点，求证：
（ ）＝ ．
ｂｃ ｂ ＋ ｃ － ａ 解析 结论左边进行变形，得
２ ２
ａ １ ＢＭ － ＤＭ ＝ （ＢＭ － ＤＭ）（ＢＭ ＋ ＤＭ）．
进一步变形，得 ＝ ．
ｂｃ ｂ ＋ ｃ － ａ 从图中可以看出，点 Ｄ 位于点 Ｂ 和点 Ｍ 之间，因
所以 ａｂ ＋ ａｃ － ａ２ － ｂｃ ＝ ０． 此 ＢＭ － ＤＭ ＝ ＢＤ．
因式分解，得（ａ － ｃ）（ｂ － ａ）＝ ０． 由 Ｍ 是 ＢＣ 的中点，可得 ＢＭ ＝ ＭＣ．
所以 ａ ＝ ｃ 或 ａ ＝ ｂ． 所以 ＢＭ ＋ ＤＭ ＝ ＭＣ ＋ ＤＭ ＝ ＤＣ．
由此可以得出该三角形为等腰三角形． 所以 ＢＭ２ －ＤＭ２ ＝（ＢＭ －ＤＭ）（ＢＭ ＋ＤＭ）＝ＢＤ·ＤＣ．
２ 运用因式分解求解边长或者周长 在直角三角形中，斜边上的高满足 ＡＤ２ ＝ ＢＤ·ＤＣ．
例题 ２ 已知 ａ，ｂ 为等腰△ＡＢＣ 的两条边，且满 因此 ＢＭ２ － ＤＭ２ ＝ ＡＤ２ ．
２ ２
足 ａ ＋ ｂ － ４ａ － ６ｂ ＋ １３ ＝ ０，求△ＡＢＣ 的周长． 例题 ５ 已知两个圆的半径分别为 ａ，ｂ，两圆的
解析 将题目中已知方程式左边进行配方后变 圆心距为 ｃ，若关于 ｘ 的方程式 ｘ２ － ２ａｘ ＋ ｂ２ － （ｂ － ａ）
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形，可以得出（ａ － ２） ＋ （ｂ － ３） ＝ ０． ｃ ＝ ０ 存在两个相等的实数根，证明：两个圆外切或者