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2015年南京师范大学附属中学高考模拟
数学试题
注意事项：
本试卷共160分，考试时间120分钟.
答题前，考生务必将自己的班级、姓名、学号写在答题纸的相应位置，试题的答案写在答题纸上对应题目的 ，交回答题纸.
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，
1、 已知全集 U = R ,集合 A = {x\ log2 x > 1),则 .
。•
2、 已知复数z =—,则该复数的虚部为 ▲.
+ Z
3、 已知双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为x-j=0,
则该双曲线的标准方程为▲.
4、 在如图所示的流程图中，输出的结果是▲.
5、 在ZSABC中，三边a,b,c所对的角分别为A, B, C,
A = 30°,a =l,b = V2 ,则 B = ▲ .
6、 已知向量成与方的夹角为150°,且目=2,同=右，
则(2a + b)-a= ▲.
'I-
7、已知函数/Xx) = ]"'点° ,若/(x)<3,则x的取值范围是▲.
-x2 -4x , x< 0
8、
如图是函数y = /sin(a)x +仞)(,>0,刃>0加|<；)图像的一部分，则此函数的表达式为 ▲.
9、 某人2011年初向银行申请个人住房公积金贷款a(a > 0)元购买住房，
年利率为r(r>0),按复利计算，每年等额还贷一次，并从贷款后的
，那么每年应还贷款 ▲ 元.(用表示)
X
10、 已知函数/(x)= ,若函数y= /(x + 2)-l 奇函数，贝ija = A ,
x + a
11、 已知等差数列{%}的公差不为零且％，%, %依次成等比数列，则 L .
%
2 2
12、 已知椭圆C： \ +当=1 (a>b〉O)的右准线与x轴交于点A,点B的坐标为(0,a),若椭圆上的点M
a" b
满足冒万=2AM ,则椭圆C的离心率为 ▲.
13、 在平面直角坐标系xQy中，集合M = {(x, j) \x + y<l,且x20,p20},
N = {(x-y,x + y)\ (x, j)e M},则当(x,必)6N 时，z=x-2y 的最大值为 ▲.
14、已知函数/(x)=
4“+们2'+1
4" + 2" +1
，若对于任意实数x1,x2,x3,均存在以/(xj,/(x2),/(x3) 三边边长的三
角形，则实数批的取值范围是 ▲.
二、解答题：本大题共6道题，、证明过程或演算步骤
(本小题满分14分)
某学科在市模考后从全年级抽出50名学生的学科成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图如图所示.
估计该次考试该学科的平均成绩；
为详细了解每题的答题情况，从样本中成绩 祎
SBiEE
在70〜90之间的试卷中任选2份进行分析，求至少 0-044 —
有1份试卷成绩在70〜80之间的概率.
—
70 80 90 1 00 110 1 20 尸成绩
0
(本小题满分14分)
在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a力,c,且cos/= 1.
3
2 sin2 (y + ~~~) + sin ~~ cos^y + 的值；
若a=V3 ,求三角形面积的最大值.
(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，ABVBP, 分别为AC,PD的中点.
求证：切V//平面48R
求证：平面ABPL平面NPC的充要条件是BPLPC.
(本小题满分16分)
已知直线A，乙分别与抛物线U=4，相切于点A, B,且A, B两点的横坐标分别为a力(a力6R).
(1)求直线』1，的方程;
⑵若人，与X轴分别相交于P，Q，且/1，上交于点R，经过P，Q，R三点作③C.
当a=4力=一2时，求。C的方程；
当a力变化时，0C是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由.
(本小题满分16分)
已知数列｛an｝的前”项的和为S”，且Sn=2n+7-2an.
求证：｛an-2｝为等比数列；
是否存在实数上使得an<n3 + kn2+9n对于任意的nw N*都成立，若存在，求出实数左的取值范围;
若不存在，说明理由.
20 (本小题满分16分)
已知函数/(x) -^ax2 -2x + 2 + lnx , ae R .
当a = 0时，求/(x)的单调增区间；
若/(x)在(1,+8)上只有一个极值点，求实数a的取值范围;
⑶ 对于任意xpx2 g (0,1],都有| X