文档介绍：第八章平面电磁波
主要内容
理想介质中的平面波,平面波极化特性,平面边界上的正投射,任意方向传播的平面波的表示,平面边界上的斜投射,各向异性媒质中的平面波。
1. 波动方程
在无限大的各向同性的均匀线性媒质中,时变电磁场的方程为
上式称为非齐次波动方程。
式中
其中是外源。电荷体密度(r, t)与传导电流(E ) 的关系为
若所讨论的区域中没有外源,即 J ' = 0 ,且媒质为理想介质,即= 0,此时传导电流为零,自然也不存在体分布的时变电荷,即= 0,则上述波动方程变为
此式称为齐次波动方程。
对于研究平面波的传播特性,仅需求解齐次波动方程。
若所讨论的时变场为正弦电磁场,则上式变为
此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程,式中
在直角坐标系中,可以证明,电场强度 E 及磁场强度 H 的各个分量分别满足下列方程:
这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程。
由于各个分量方程结构相同,它们的解具有同一形式。
在直角坐标系中,若时变电磁场的场量仅与一个坐标变量有关,则该时变电磁场的场量不可能具有该坐标分量。
例如,若场量仅与 z 变量有关,则可证明,因为若场量与变量 x 及 y 无关,则
因在给定的区域中, ,由上两式得
代入标量亥姆霍兹方程,即知 z 坐标分量。
考虑到
2. 理想介质中的平面波
已知正弦电磁场在无外源的理想介质中应满足下列齐次矢量亥姆霍兹方程
若电场强度E 仅与坐标变量 z 有关,与 x , y 无关,则电场强度不可能存在 z 分量。
令电场强度方向为 x方向,即,则磁场强度 H 为
因
得
已知电场强度分量 Ex 满足齐次标量亥姆霍兹方程,考虑到
得
这是一个二阶常微分方程,其通解为
上式第一项代表向正 z 轴方向传播的波,第二项反之。
首先仅考虑向正 z 轴方向传播的波,即
式中Ex0 为 z = 0 处电场强度的有效值。
Ex(z) 对应的瞬时值为
电场强度随着时间 t 及空间 z 的变化波形如图示。
Ez(z, t)
z
O
t1 = 0
上式中 t 称为时间相位。kz 称为空间相位。空间相位相等的点组成的曲面称为波面。
由上式可见, z = 常数的平面为波面。因此,这种电磁波称为平面波。
因 Ex(z) 与 x, y 无关,在 z = 常数的波面上,各点场强振幅相等。因此,这种平面波又称为均匀平面波。
可见,电磁波向正 z 方向传播。
时间相位变化 2所经历的时间称为电磁波的周期,以 T 表示,而一秒内相位变化 2的次数称为频率,以 f 表示。那么由的关系式,得
空间相位 kz 变化 2所经过的距离称为波长,以表示。那么由关系式,得
由上可见,电磁波的频率是描述相位随时间的变化特性,而波长描述相位随空间的变化特性。
由上式又可得
因空间相位变化 2相当于一个全波,k 的大小又可衡量单位长度内具有的全波数目,所以 k 又称为波数。
根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度,这种相位速度以 vp 表示。令常数,得,则相位速度 vp 为
考虑到,得
相位速度又简称为相速。
考虑到一切媒质相对介电常数,又通常相对磁导率,因此,理想介质中均匀平面波的相速通常小于真空中的光速。
注意,电磁波的相速有时可以超过光速。因此,相速不一定代表能量传播速度。
在理想介质中,均匀平面波的相速与媒质特性有关。
由上述关系可得
平面波的频率是由波源决定的,但是平面波的相速与媒质特性有关。因此,平面波的波长与媒质特性有关。
由上述关系还可求得
式中
0 是频率为 f 的平面波在真空中传播时的波长。
在真空中,
由上式可见, ,即平面波在媒质的波长小于真空中波长。这种现象称为波长缩短效应,或简称为缩波效应。