文档介绍：第五章矩阵分析基础矩阵分析基础 1 § 向量和矩阵的范数 1:设 X ? R n, ??X ??表示定义在 R n上的一个实值函数, 称之为 X的范数,它具有下列性质: Xa aX??(3)三角不等式:即对任意两个向量 X、Y? R n,恒有 YXYX???(1) 非负性:即对一切 X ? R n,X? 0, ??X ??>0 (2) 齐次性:即对任何实数 a ? R, X ? R n, 2 设X = ( x 1, x 2,…, x n) T,则有 nxxxX???? 211(1) 222 21 2 n TxxxXXX??????(2) inixX ???? 1 max (3) 三个常用的范数: 范数等价: 设‖·‖ A 和‖·‖ B是R上任意两种范数,若存在常数 C 1、C 2> 0 使得, 则称‖·‖ A 和‖·‖ B等价。 3 定理 1:定义在 R n上的向量范数是变量 X分量的一致连续函数。 X ( ) X f X ?定理 2:在R n上定义的任一向量范数都与范数等价, 即存在正数 M与 m ( M>m ) 对一切 X?R n,不等式 X 1X 1 1XMXXm??成立。推论:R n上定义的任何两个范数都是等价的。 4 1 11XXXn ???????XnXX 1????XnXX 2对常用范数,容易验证下列不等式: 5 定义 2:设给定 R n中的向量序列{ } ,即 kX 0 1 , , , k X X X ? ?其中?? Tkn kkkxxxX )()(2 )(1,,,??若对任何 i (i = 1, 2, …, n )都有*)( lim i kikxx???则向量 TnxxX),,( **1 *??* lim XX kk???称为向量序列{ } 的极限,或者说向量序列{ } 依坐标收敛于向量,记为 kX kX *X 6 定理 3:向量序列{X k}依坐标收敛于 X *的充要条件是 0 lim *????XX kk向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。 3:设A为n阶方阵,R n中已定义了向量范数, 则称为矩阵 A 的算子范数或模, 记为。即? 1 s u p x A X ?A AX A x1 sup ?? 7 矩阵范数的基本性质: (1)当 A = 0 时, =0,当 A ? 0时, > 0 A A(2)对任意实数 k 和任意 A,有 Ak kA?(3)对任意两个 n阶矩阵 A、B有 BABA???(5)对任意两个 n阶矩阵 A、B,有 BA AB??(4)对任意向量 X?R n,和任意矩阵 A,有 XA AX ?8 例5: 设A=(a ij)∈M. 定义 2 , 1 1 | | | | | | n i j i j A a n ???证明:这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数. 证明:设 1 1 1 1 , 1 1 1 1 A B ? ???? ?? ???? ??? 2 2 2 2 AB ? ??? ?? ?|| || 1,|| || 1,|| || 2 A B AB ? ??从而|| || || || || || AB A B ?? 9 定理 4:设n阶方阵 A = (a ij) n?n,则(Ⅰ)与相容的矩阵范数是 1x??? ni ijjaA 1 1 max (Ⅱ)与相容的矩阵范数是 2x 12??A其中? 1为矩阵 A TA的最大特征值。(Ⅲ)与相容的矩阵范数是?x???? nj ijiaA 1 max 上述三种范数分别称为矩阵的 1-范数、 2-范数和∞-范数。 10