文档介绍：第三节任意项级数,绝对收敛与条件收敛
定义：正、负项相间的级数称为交错级数.
00
（其中暫>0）
n=l
定理（莱布尼茨定理） 如果交错级数满足条件
un > ,即｛un｝单调递减;
limun=0 9
/I—>00
则交错级数收敛，且其和S<U1 •
H=1
证 ^2m = （”i 一 “2）+ （“3 一 “4） h （U2m-1 ~ U2m ）， 由条件⑴可知，U2k_r > U2k ,所以｛S2丿单调递增； 另一方面，
^2m =W1-（W2-W3）-（W4-W5） （%_2 - M2m-1）一 U2m
<U.,即｛S2,“｝有上界，
^｛S2m｝收敛，记 lim S2m =S ,显然有 S < .
加 Too
而 S2m-.l=S2m+U 2/n+l、 由条件⑵可知，
lim S2fn+1 = S ,
得 limS“=S,
即原级数收敛，且其和S<u^
00
（其中坷 >0）
n=l
定理（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件
（1） Un > un+1,即｛"“｝单调递减；
（2） lim= 0 ,
71—>00
则交错级数£（-1）"一乜 收敛，且其和SSu、.
71=1
注意：莱布尼兹定理所给的条件只是交错级数收敛 的充分条件，而非必要条件.
£(-旷
n=l
111
I —■
2 3 4
这是交错级数,
单调递减,
且 lim1 = 0,
由莱布尼茨定理知,
级数收敛。
8 1
一般地，工(-1)"」飞 称为交错P—级数. n=l n
当p>0时，［丄/单调递减旦imA = 0,
J 心8沪
所以级数收敛。
例2判别级数£（zl丫的敛散性.
解设心吕，则门对=民牛＜。，
V7 （沦 2）
故函数•注在r»2时单调递减
X —1
所以数列
单调递减,
又limun = lim丄:=0,所以级数收敛.
//—>00 W—>00 fl — 丄
用Leibnitz定理判别下列级数的敛散性:
1)
2)
〔111
1 1 ••• +
2 3 4
〔111
] ~• • •
2! 3! 4!
n + 1
10* _ 1 n + 1
n 10 n
10〃
3)
n-1 “
10"
co [
i£；
发散
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?
oo 1 oo
心1"・ H=11U
收敛
收敛
定义：正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
00
定义 若****un I收敛,则称绝对收敛；
〃T n=l
00
若收敛但刀Un I发散,则称£给条件收敛. n=1 n=l
例如,£（-1）"_屯绝对收敛，
n=i n
op 电
而》（一1）1—条件收敛
n=l W
00 00
定理：若^\un I收敛，则Y冷收敛.
h=1 n=l
证明令 = —(\un I 4-Wm)=
0， un < 0
00 00
即》町为》＞“的所有非负项组成的级数,
11=1 11=1
显然w：＜lwj,由正项级数的比较判别法可知,
op
丫町收敛，而冷=2町一1给1,
11=1
00 8