15机械振动.pdf

文档介绍：((机械机械))振动振动:物体在一定位置附近:物体在一定位置附近
作往复的运动作往复的运动((周期性或非周期性周期性或非周期性))
成因成因::. 惯性、惯性、
§§1515--11 简谐简谐振动振动
物体距平衡位置的位移物体距平衡位置的位移((或角位移或角位移))
随时间按余弦随时间按余弦((或正弦或正弦))函数变化函数变化
一一..动力学方程动力学方程
v
F = 0
m
0 x
v
F m
0 x
v
F = 0
胡克定律胡克定律 m
0 x
F = −kx v
F m
d2 x 0 x
F = m = −kx
Q 2 k
d t 令令ω 2 =
m
d2 x
∴+ω 2 x = 0 --------动力学方程动力学方程
dt 2
d 2 x
二二..简谐振动描述简谐振动描述+ ω 2 x = 0
d t 2
动力学方程解动力学方程解
运动学方程运动学方程
x = Acos(ω t +ϕ0 ) ------
A --------振幅振幅,, 即物体离开平衡位即物体离开平衡位
置最大位移置最大位移((绝对值绝对值))
ω--------角频率角频率((22ππ秒内的振动次数秒内的振动次数))
----简谐振动的相位简谐振动的相位
ωt +ϕ0 ----
ϕ0 --------简谐振动的初相位简谐振动的初相位
d 2 x
+ ω 2 x = 0 x = A cos(ω t + ϕ)
d t 2
d x
v = = −ωA sin( ω t + ϕ)
d t
= −vm sin(ω t + ϕ)
d 2 x
a = = −ω 2 Acos(ω t +ϕ)
d t 2
= −am cos(ω t + ϕ)
x = Acos(ω t +ϕ) v = −ωAsin(ω t + ϕ)
a = −ω 2 Acos(ω t + ϕ)
即即 a = −ω 2 x --------运动学特征运动学特征
. AA和和ϕϕ0由初始条件可确定由初始条件可确定
设设 tt =0=0 时时,,x = x0 v = v0
∴ x0 = Acosϕ0
v0 = −ωAsinϕ0
x0 = Acosϕ0
tt =0=0 时时::
v0 = −ωAsinϕ0
v2
∴ A= x 2 + 0
0 ω2
⎛ v ⎞
⎜ 0 ⎟
ϕ 0 = arctan⎜−⎟
⎝ω x0 ⎠
2 k
. 固有频率和固有周期固有频率和固有周期ω=
m
k x = Acos[ω(t +T) +ϕ]
ω= 0
Q m
x = Acos(ω t +ϕ0 )
2π m 2π
∴T = = 2π= Acos( t +ϕ)
ω k T 0
1 1 k = Acos(2πν t +ϕ0 )
ν= =
T 2π m
三三..旋转矢量表示法旋转矢量表示法
OM = A 逆时针旋转逆时针旋转
ω M M
t =0: 1
A
A A M0
x0 = Acosϕ0 ωt
ϕ
振幅矢量振幅矢量 0 x
tt 时刻时刻 O x x0
x = Acos(ω t +ϕ0 )
参考圆参考圆