文档介绍：和事件积事件差事件互斥事件互逆事件完备事件组
复习
1. 事件的关系
2. 事件的运算
交换律结合律分配律对偶律自反律
3. 概率的公理化定义
三个公理:
非负性
归一性
可数可加性
4. 概率的运算性质:
加法公式:
减法公式:
古典概率与几何概率
古典概率
古典概型:若一随机试验具有下面两个特征:
(1) 所有的基本事件数为有限个;
(2) 每个基本事件出现的可能性相同。
则称该随机试验为古典概型(等可能概型)。
古典概型中事件A的计算:
例1 将一枚硬币抛掷三次. (1)设事件A1为“恰有一次出现正面”, 求P(A1); (2) 设事件A2为“至少有一次出现正面”, 求P(A2).
解(1) 随机事件的样本空间: S={ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT }.而 A1={HTT,THT,TTH }.故得
例 2 100件产品有60个一等品,30个二等品,10个废品,规定一二等品都为合格品,(1) 从中任意取两件,求两件产品有一件一等品一件次品的概率; (2) 这批产品的合格率。
解:(1)设事件A表示取得一件一等品一件次品,则基本事件总数为,A包含的基本事件数为,故
(2)设事件B表示产品为合格品,则产品合格率为事件B的概率P(B),B包含的基本事件数为,基本事件总数
为: , 故产品合格率为:
例 3 某班有30名学生,试求该班至少有两名学生生日相同的概率。
例 4 据调查,某部门接待站在某一周曾接待过12次来访,已知这12次来访接待的时间都是在周一和周五进行的,问是否可以推断接待来访的时间是特意安排的?
解:设事件A表示至少有两名学生生日相同,基本事件总数为, 表示30个学生生日各不相同,则其基本事件总数为,从而
思路:假设接待站来访的时间是每周的任意一天,而来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的,那么,12次接待来访者都是在周一周五的概率为
实际推断原理
几何概率
引例:设S为一区域,某质点等可能的落在位于区域中的任一点,A为S子区域,求质点位于A的概率P(A).
由等可能的假定知,质点位于A的概率与A的度量成正比,因此,P(A)可定义为:
为A的度量,可以是长度,面积,体积等几何度量。
这种方法定义的概率称为几何概率
例5 甲乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面。先到者等待 t 时离去(t<T),设两人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连。求甲、乙两人能会面的概率P(A).
解:以x,y表示甲乙两人到达的时刻,则
即
两人能会面的充要条件为:
即
所以
例6 (Buffon投针问题) 在平面上画有等距离的一些平行线,距离为,向平面上随意投掷一长为的针,
试求A=“针与平行线相交”的概率P(A).
解:设M为针的中点,x表示M点与最近的一条平行线的距离,
表示针与与最近的平行线的交角,易知:
而针与平面相交的充要条件为:
故所求概率为:
若以频率代替概率,则有
即
统计试验法
蒙特卡罗方法
(Monte-Carlo)
条件概率与乘法定理
条件概率
引例某班有30名学生,其中女生12名,男生18名,女生中有2人喜欢看足球赛,男生中有10人喜欢看。先从该班中随意挑选一位学生。考虑:
定义:在事件B已经发生的条件下,事件A发生的概率,称为事件A对于事件B的条件概率。记为:
A=“该生喜欢看足球赛”;B=“该生为男生”;该生喜欢看足球赛(已知该生为男生),此事件记为