ww要点1如何判定凹凸性.pdf

文档介绍：要点： 2. 如何求拐点
§ 曲线的凹向与拐点
定义 1 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则
称曲线在该区间内是上凹的，也称为凹的，如图 。如果在某区间
内，曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称曲线在这个区间内是
下凹的，简称为凸的，如图 。
图
图
定理 设函数 f (x) 在区间(a,b)内具有二阶导数，那么
（1）如果 x (a,b)时，恒有 f (x) 0 ，则曲线 y f (x) 在 (a,b)内是上凹
的（凹的）；
（2）如果 x (a,b)时，恒有 f (x) 0 ，则曲线 y f (x) 在 (a,b)内是下凹
的（凸的）.
事实上，因为 f (x) 0 时， f (x) 必为单调增加，即切线与 x 之夹
角的正切 tan由小变大。由图上可知，曲线是上凹的。反之，如果
f (x) 0，则 f (x)单调减少，即 tan由大变小，所以由图上可知，曲
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线下凹.
定义 2 曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。
由定义可知在拐点的左右邻近， f (x) 必然变号 。因而在拐点处
f (x) 0 ，或 f (x) 不存在。
图
例 求曲线 y x4 2x3 1 的凹向与拐点。
3 2 2
解 y4x 6x ，y12x 12x 12x(x 1) .令 y0 , 得 x1 0, x2 1. 列表
如下
x (,0) 0 (0,1) 1 （1，）
y + 0 - 0 +
0
y ∪ 1（拐点） ∩ ∪
（拐点）
图
可见曲线 y x4 2x3 1在区间(,0) 内是上凹的，在(0,1) 内是下凹，在
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(1,)内又是上凹，而(0,1) , (1,0) 两点是曲线的拐点。
有两种特殊情形要加以注意：
（1）在点 x0 处一阶导数存在（知曲线在点 x0 处连续且有切线）而二
阶导数不存在时，如果在点 x0 左右邻近二阶导数存在且符号相反，则
点(x0 , f (x0 )) 是拐点。如果符号相同，则不是拐点。
（2）在点 x0 处函数 f (x) 连续，而一，二阶导数都不存在，而在点 x0 左
右邻近二阶导数存在且符号相反，则点(x0 , f (x0 )) 是拐点，如果左右邻
近符号相同，则不是拐点。
容易看出，无论是（1）还是（2），都要求(x0 , f (x0 )) 必须是连续点。
5
例 求曲线 f (x) (x 1) 3 的凸性区间及拐点。
5 2
解 f (x)  (x 2) 3 ,
3
10 1
f (x)  (x 2)
9 1
(x 2) 3 .
f (x) f (2)
f (2) lim .
x2 x 2
由导数定义知，当 x 2 时，二阶导数不存在，以 x 2 为分界点，列
表如下：
x