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概率论与数理统计 第3讲
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概率
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每一个事件都有它的发生概率
即给定事件A, 存在着一个正数P 与之对应, 称之为事件A的概率, 记作P(A)或P{A}.
最高的发生概率为1, 表示必然发生.
最低的概率为0, 表示不可能发生.
而一般的随机事件的概率介于0与1之间.
这里只是概率的数学上的规定, 其实就是任何一个事件到实数轴上的[0,1]区间的映射.
但怎样获得切合实际的一个事件的概率呢?
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概率的统计定义
概率的统计定义并非严格的数学上的定义, 而只是大数定律的一个描述.
在n次重复试验中, 如果事件A发生了m次, 则m/n称为事件A发生的频率. 同样若事件B发生了k次, 则事件B发生的频率为k/n. 如果A是必然事件, 有m=n, 即必然事件的频率是1, 当然不可能事件的频率为0. 如果A与B互不相容, 则事件A+B的频率为(m+k)/n, 它恰好等于两个事件的频率的和m/n+k/n, 这称之为频率的可加性.
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在不变的条件下, 重复进行n次试验, 事件A发生的频率稳定地某一常数p附近摆动, 且一般说来, n越大, 摆动幅度越小, 则称常数p为事件A的概率, 记作P(A).
但这不是概率的数学上的定义, 而只是描述了一个大数定律.
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历史上的掷硬币试验
试验者
抛掷次数
n
正面出现次数m
正面出现频率m/n
2048
1061
蒲丰
4040
2048
皮尔逊
12000
6019
皮尔逊
24000
12012
维尼
30000
14994
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概率的稳定性是概率的经验基础
但并不是说概率决定于经验. 一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构, 指试验条件, 是先于试验而客观存在的.
概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的, 但并不能用这个定义计算P(A). 实际上, 人们是采取一次大量试验的频率或一系列频率的平均值作为P(A),对一个妇产医院6年出生婴儿的调查中, 可以看到生男孩的频率是稳定的,
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新生儿性别统计表
出生年份
新生儿总数n
新生儿分类数
频率(%)
男孩数m1
女孩数m2
男孩
女孩
1977
3670
1883
1787
1978
4250
2177
2073
1979
4055
2138
1917
1980
5844
2955
2889
1981
6344
3271
3073
1982
7231
3722
3509
6年总计
31394
16146
15248
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概率的古典定义(概率的古典概型)
有一类试验的特点是:
1,每次试验只有有限种可能的试验结果
2,每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同.
具这两个特点的试验称为古典概型试验.
在古典概型的试验中, 如果总共有n个可能的试验结果, 因此每个基本事件发生的概率为1/n, 如果事件A包含有m个基本事件, 则事件A发生的概率则为m/n.
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定义
若试验结果一共由n个基本事件E1,E2,…,En组成, 并且这些事件的出现具有相同的可能性, 而事件A由其中某m个基本事件E1,E2,…,Em组成, 则事件A的概率可以用下式计算: