文档介绍：抛物线及其标准方程宣城中学李朝明 2008 年 11 月 14 日一、引入概念 1、我们先看以下两个熟悉的例题(1)点 M( x,y )与定点 F(4,0)的距离和它到定直线 l:x =25/4 的距离之比是 4/5 ,求点 M的轨迹。(2)点 M( x,y )与定点 F(5,0)的距离和它到定直线 l:x =16/5 的距离之比是 5/4 ,求点 M的轨迹。问题 1:你能说出这两个轨迹以及这两题的异同点吗? 相同点:都是求“平面内到一定点 F的距离和一条定直线 l的距离之比是常数的点的轨迹”不同点:前者常数小于 1,后者大于 1 问题 2:如果这个常数等于 1,点的轨迹存在吗?如果存在,又是什么图形呢? 二、探求概念 1、问题即:求“平面内到一定点 F的距离和一条定直线l的距离相等的点的轨迹”引例:点 M( x,y )与定点 F(0, -1)的距离和它到定直线 l:y =1 的距离相等,求点 M的轨迹。求出本题的方程: 这说明这种点的轨迹是存在的,会是什么图形呢? 请看数学实验. gsp , 2 4 0 x y ? ? 2、抛物线的定义我们把平面内与一个定点 F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点 F:抛物线的焦点定直线 l:抛物线的准线(练****shs ) 注:如果定点 F在定直线 l上,所求的轨迹是过定点 F垂直于直线 l的一条直线 l F K M Nl F K M Nl F K M N x x y yoo y 2 = 2p(x - ) P2 y 2 = 2p(x+ ) P2 问题:选择哪一种方程作为抛物线的标准方程? 方案一方案二抛物线标准方程的推导抛物线标准方程的推导: : 方案三解:取过点 F且垂直于直线 l的直线为 x轴, 垂足为 K,以 KF 的中垂线为 y轴,建立直角坐标系,如图。设 l F K M N ?yxo , 0 , 2 2 ( 0), ( ) : p p KF p p F l x ? ? ??则焦点。准线( , ) M x y 设是抛物线上的任意一点,则抛物线就是点的集合??,P M MF d ??从而有 22 p y x ? ?? 2p( x-) 2上式两边平方并化简得: 2 2 ( 0) px p y ? ? 3. : :p的几何意义焦点到准线的距离 l F K M Nx yo 2 2 ( 0) px p y ? ?准线方程焦点坐标标准方程图形填表:抛物线标准方程的四种不同形式填表:抛物线标准方程的四种不同形式 x yo l Fx yol Fx yo l Fx yol Fy 2=- 2px (p>0 )x 2=- 2py (p>0) x 2 =2py (p>0) y 2 =2px (p>0) P2 ( ,0) P2x =- P2(-, 0) P2x = P2 (0, ) P2y =- P2 (0, -) P2y = 2 1. 6 , y x ?例已知抛物线的标准方程为求它的焦点坐标和准线方程。. 3 解:因为p=3, 所以抛物线的焦点坐标是(,0), 2 3 准线方程是x=- 2三、应用概念