文档介绍：Ch5-21
§ 中心极限定理
独立同分布的中心极限定理
设随机变量序列
独立同一分布, 且有期望和方差:
则对于任意实数 x ,
§
定理1
Ch5-22
注
则 Y n 为
的标准化随机变量.
即 n 足够大时,Y n 的分布函数近似于标
准正态随机变量的分布函数
记
近似
近似服从
Ch5-23
中心极限定理的意义
在第二章曾讲过有许多随机现象服从
正态分布
若联系于此随机现象的随机变量为X ,
是由于许多彼次没有什么相依关
系、对随机现象谁也不能起突出影响,而
均匀地起到微小作用的随机因素共同作用
则它可被看成为许多相互独立的起微小作
用的因素Xk的总和,而这个总和服从
或近似服从正态分布.
(即这些因素的叠加)的结果.
Ch5-24
对此现象还
可举个有趣
的例子——
高尔顿钉板
试验——加
以说明.
0
3
—钉子层数
高尔顿钉板
Ch5-25
德莫佛—拉普拉斯中心极限定理
(DeMoivre-Laplace )
设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x,有
即对任意的 a < b,
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
定理2
Ch5-26
中心极限定理的应用
应用1
例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次
轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学
期望为 2 , . 若各次轰击命中
的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
(1) 至少命中180发炮弹的概率;
(2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
Ch5-27
解设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数
相互独立,
设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则
由独立同分布中心极限定理, 有
Ch5-28
(1)
(2)
Ch5-29
例2 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路
人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售
了100份报时过路人的数目,求
P (280 X 320).
解令Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出
第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,…,100
(几何分布)
应用2
Ch5-30
相互独立,
由独立同分布中心极限定理, 有