文档介绍：第二章随机变量及其分布
随机变量
离散性随机变量及其分布
随机变量的分布函数
连续型随机变量及其概率密度
随机变量的函数的分布
一、问题的提出
在实际中,人们常常对随机变量的函数
更感兴趣.
求截面面积
的分布.
例如,已知圆轴截面直径 d 的分布,
一般地、设随机变量X 的分布已知,Y=g (X) (设g是连续函数),如何由 X 的分布求出 Y 的分布?
这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.
二、离散型随机变量函数的分布
解:
例1
设随机变量X的分布律如下
求 Y= (X-1)2 的分布律.
X
-1
1
0
2
pk
0. 2
Y
1
0
4
pk
如果g(xk)中有一些是相同的,把它们作适当
并项即可.
一般,若X是离散型随机变量,X的分布律为
则 Y=g(X)的分布律
X
x1
…
x2
xn
pk
p1
p2
…
pn
Y
g(x1)
…
g(x2)
g(xn)
pk
p1
p2
…
pn
如X的分布律:
则 Y=X2 的分布律为:
X
-1
1
0
pk
Y
1
0
pk
三、连续型随机变量函数的分布
解:设Y的分布函数为 FY(y),
例2
设 X ~
求 Y=2X+8 的概率密度.
FY(y)=P{ Y ≤ y } = P {2X+8 ≤ y }
于是Y 的密度函数
故
Y=2X+8
例3
设 X 具有概率密度fX(x) ,求Y=X2的概率密度.
求导可得
当 y>0 时,
注意到 Y=X2 0,故当 y 0时,
解:设X和Y 的分布函数分别为FX(x) 和FY(y)
若
则 Y=X2 的概率密度为:
则Y服从自由为1 的卡方分布