文档介绍：函数的对称性
教学目标
理解函数对称性的有关概念,领会自对称与互对称的区别,掌握常见的函数对称性问题。
【新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性,但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性,因为教材上对它有零散的介绍,例如二次函数的对称轴,反比例函数的对称性,三角函数的对称性,因而考查的频率一直比较高,这方面一直是教学的难点,尤其是抽象函数的对称性判断。】
知识梳理
一、对称性的概念及常见函数的对称性
1、对称性的概念
①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)
①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;
⑨正弦型函数既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;
⒀三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
⒁绝对值函数:这里主要说的是和两类。前者显然是偶函数,它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如就没有对称性,而却仍然是轴对称。
⒂形如的图像是双曲线,其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定),对称中心是点。
二、抽象函数的对称性
【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性,一种是同一函数自身的对称性,我们称其为自对称;另一种是两个函数之间的对称性,我们称其为互对称。】
1、函数图象本身的对称性(自对称问题)
(1)轴对称
①的图象关于直线对称
②的图象关于直线对称.
特别地,函数的图像关于轴对称的充要条件是.
(2)中心对称
①的图象关于点对称
。
②的图象关于点对称.
特别地,函数的图像关于原点对称的充要条件是.
(3)对称性与周期性之间的联系
①若函数既关于直线对称,又关于直线对称,则函数关于无数条直线对称,相邻对称轴的距离为;且函数为周期函数,周期;
特别地:若是偶函数,其图像又关于直线对称,则是周期为的周期函数;
②若函数既关于点对称,又关于点对称,则函数关于无数个点对称,相邻对称中心的距离为;且函数为周期函数,周期;
③若函数既关于直线对称,又关于点对称,则函数关于无数个点和直线对称,相邻对称轴和中心的距离为,相邻对称轴或中心的距离为;且函数为周期函数,周期。
特别地:若是奇函数,其图像又关于直线对称,则是周期为的周期函数。
2、两个函数图像的对称性(互对称问题)
(1)函数与图象关于轴对称。
(2)函数与图象关于轴对称。
(3)函数与图象关于直线对称。
(4)函数与图象关于直线对称
(5)函数与图象关于直线对称
(6)函数与图象关于直线对称(注意不是)
(7)函数与图象关于中心对称(注意不是)
(8)函数与的图像关于直线对称。
(9)函数与的图像关于直线对称。
(10)函数有反函数,则和的图像关于直线对称。
典例精讲
自对称
例1.(★★)已知二次函数满足条件且方程有等根,则= .【答:;】
例2.(★★)已知函数对一切实数x满足条件,已知时,,
求时的解析式.
【解:,而关于对称,所以当时,】
例3.(★★★)设是定义在R上的偶函数,且,当时,,
则。
【解:是定义在R上的偶函数是对称轴;又,也是对称轴。故是以2为周期的周期函数,】
例4.(★★★★)函数的图像关于任意直线对称后的图像依然为某函数图像,则实数、、应满足的充要条件为.【解:;】
巩固练****自对称)
1.(★★)已知函数定义域为,且对于任意实数满足,当时,,则.
【解析:由题意可以得出函数图像关于轴对称,故,随即可求出的值.】
【解:由题意函数的图像关于轴对称,故有,
则有.】
2.(★★)设是定义在上以为周期的函数,在内单调递减,且的图像关于直线
对称,则下面正确的结论是( )【解:B】
3.(★★)设函数是定义在上的偶函数,它的图象关于直线对称,已知时,
,求时,的解析式.【解:】
4.(★★★)已知函数(),给出下列四个命题:
①当且仅当时,是偶函数; ②函数一定存在零点;
③函数在区间上单调递减; ④当时,函数的最小值为.
那么所有真命题的序号是.【解:①④;】
(互对称)
例5.(★★)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,则