文档介绍：线性代数
历年试题及参考答案
河南科技大学
2000 年-2004 年
1999级线性代数试题
一、 判断题：(共24分)
1若A, B均为n阶方阵，则必有：
AB = BA ()
AB|=|BA ()
|A+B| = |A| + |B ()
(AB)T =AtBt ()
(A + B)2 =A~ +2AB + B2 ()
R (AB) =R (BA) ()
若始=0,则 A = 0 ()
若 A『A = O,贝l]A = O ()
(8分)若A是mXn矩阵，且m#n,贝U
Cl)当A的列向量组线性无关时，A的行向量组也线性无关()
C2)当R(A)=n时，齐次线性方程组AX = O只有零解 ()
当R(A)=n时，非齐次线性方程组AX = b,有唯一解 ()
当R (A) =m时，非齐次线性方程组AX = b,有无穷多解 ()
(8分)若A是实对称矩阵，则
Cl) A的特征值全为实数 ()
C2) A为正定矩阵的充要条件是A的特征值全为正()
C3)若|A|>0,则A为正定的 ()
(4)在二次型f = XTAX中，若经实满秩线性变换X = CY,可将f化为 标准形f = k^ +k2yl+--- + kny^则kH*全为A的特征值()
二、 填空题(19分)
X
0、
,B =
^11
V、
,c =
-4、
、7
27
v J
(4分)设A =
且 A+2B = C,
贝 U x=, y=, u=, v=
(6分)若A为四阶方阵，且|A|=3, A*为A的伴随矩阵，贝U
-2A|=—, |A-*|=—, "=—
~1 0 2「
(3分)方阵A= 0 3 0的特征值为, ,
2 0 4
(4分)已知四元非线性方程组的系数矩阵A的秩为3, m，〃2，〃3是
它的三个解向量，且彷=（1,2,3,4），,化+〃3 = （2,3,4,5），,则对应齐 次方程组AX = O的基础解系是 , AX = b的通解是
二次型 f = X； + 2x； + 2x{x2 -,.r3 - 所对应的矩阵是
0 12 3
三、（10分）1、计算
3 0 12
2 3 0 1
12 3 0
2、已知A
3
4
0
0
4 0
-3 0
0 1
0 0
0
0
4
-1
2 2
四、
（10分）设A =
1 1
-1 1
五、（15 分）验证二次型 f = +5xl + -2xtx2 + 6xtx3 -6x2x3 的
特征值为4, 9, 0,求一个正交变换，将此二次型化为标准形。（要 求写出正交变换矩阵及f的标准形）
心1、
「2]
六、（12分）设％ =
1
,= 1 ，。3 =
2 , ”=
°
<4；
Id
试问当a, b满足什么条件时,
（1） ”可由al,a2,a3线性表不，且表不式唯一；
（2） ”不可由at,a2,a3线性表示
（3） ”可由ax,a2,a3线性表示，但表示式不唯一写出一般表达式
七、（10分）证明题
1若A, B均为n阶正交矩阵，试证明AB也是正交矩阵。
2若&和&2是齐次线性方程组AX=0的基础解系，
化=& - £，试证明〃1，也是AX=0的基础解系。
-2-
1999级线性代数参考答案
<1
1
-1]
5、
1
2
-1
-1
I
三、解：1、
0
1 2 3
6 6 6 6
3
0 1 2
3 0 12
2
3 0 1
2 3 0 1
1
2 3 0
12 3 0
1 1
1
1
0 1 -
-2
-1
=6
= -96
0 0
4
0
0 0
0
-4
1
1
1
1
1
1
1
1
3
0
1
2
=6
0
-3
-2
-1
2
3
0
1
0
1
-2
-1
1
2
3
0
0
1
2
-1
一、1、
X、
/ X X X X X
2、
X、
/ X V
3、
V 7
1 X X
二、1、
-5,
-6, 4, -2
2、
48,
27
3
3、 3, 0, 5
(1 4 \
为=° _1，阈=25、|C| = -1
、 / o O 4 T o O 1 O 4 一253-250 O 3一254 一250 O
-
X