文档介绍：第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
定义：设有 n 维向量
令
则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积．
向量的内积
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0．
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0．
施瓦兹（Schwarz）不等式
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
回顾：线段的长度
x1
x2
x1
x2
x3
P(x1, x2)
O
P
O
若令 x = (x1, x2)T，则
若令 x = (x1, x2, x3)T，则
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0