文档介绍：第二章预测类数学模型本章重点: 预测类数学模型的基本思想, 掌握基本的数据拟合方法—多项式数据拟合,灰色预测模型等。学****要求 。 。 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1, …,m) 误差(i=0,1, …,m) 的大小,常用的方法有以下三种:一是误差(i=0,1, …,m) 绝对值的最大值,即误差向量的∞—范数;二是误差绝对值的和,即误差向量 r的1—范数;三是误差平方和的算术平方根,即误差向量 r的2—范数;前两种方法简单、自然,但不便于微分运算,后一种方法相当于考虑 2 —范数的平方,因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差(i=0 ,1,…,m)的整体大小。数据拟合的具体作法是:对给定数据(i=0,1, …,m),在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1, …,m) 的平方和最小,即= 从几何意义上讲,就是寻求与给定点(i=0,1, …,m) 的距离平方和为最小的曲线(图 6-1 )。函数称为拟合函数或最小二乘解,求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。在曲线拟合中,函数类可有不同的选取方法. 2—1 多项式拟合所谓多项式数据拟合,主要是采用多项式函数形式来进行拟合、逼近数据所呈现出来的趋势。多项式的系数可以由最小二乘法计算出来。假设给定数据点(i=0,1, …,m) ,为所有次数不超过的多项式构成的函数类,现求一,使得(1) 当拟合函数为多项式时,称为多项式拟合,满足式( 1)的称为最小二乘拟合多项式。特别地,当 n=1 时,称为线性拟合或直线拟合。显然为的多元函数,因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件,得(2) 即(3) (3)是关于的线性方程组,用矩阵表示为(4) 式( 3)或式( 4)称为正规方程组或法方程组。可以证明,方程组( 4)的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解。从式( 4)中解出(k=0,1, …,n),从而可得多项式(5) 可以证明,式(5)中的满足式(1),即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差,记作由式(2) 可得(6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步: (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图,确定拟合多项式的次数 n; (2) 列表计算和; (3) 写出正规方程组,求出; (4) 写出拟合多项式。在实际应用中,或;当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。* 最小二乘拟合多项式的存在唯一性定理 1设节点互异,则法方程组( 4)的解存在唯一。定理 2设是正规方程组( 4)的解,则是满足式( 1)的最小二乘拟合多项式。* 多项式拟合中克服正规方程组的病态在多项式拟合中,当拟合多项式的次数较高时,其正规方程组往往是病态的。而且: ①正规方程组系数矩阵的阶数越高,病态越严重; ②拟合节点分布的区间偏离原点越远,病态越严重; ③(i=0,1, …,m)的数量级相差越大,病态越严重。为了克服以上缺点,一般采用以下措施: ①尽量少作高次拟合多项式,而作不同的分段低次拟合; ②不使用原始节点作拟合,将节点分布区间作平移,使新的节点关于原点对称, 可大大降低正规方程组的条件数,从而减低病态程度。平移公式为: (9) ③对平移后的节点(i=0,1, …,m), 再作压缩或扩张处理: (10) 其中,(r是拟合次数) (11) 经过这样调整可以使的数量级不太大也不太小,特别对于等距节点,作式(10)和式(11)两项变换后,其正规方程组的系数矩阵设为A,则对 1~4次多项式拟合,条件数都不太大,都可以得到满意的结果。变换后的条件数上限表如下: 拟合次数 1234 =1< < <435 ④在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。一种方法是构造离散正交多项式;另一种方法是利用切比雪夫节点求出函数值后再使用正交多项式。这两种方法都使正规方程组的系数矩阵为对角矩阵,从而避免了正规方程组的病态。例1 :世界人口预测问题人类社会进入 20世纪以来,在科学技术和生产力飞速发展的同时,世界人口也以空前的规模增长,统计数据如表 所示。表 世界人口统计数据年份 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口/亿5 10 20 30 40 50 60 可以看出,人口每增长 10亿的时间由 100 年缩短为十几年。人口增长使人类赖以生存的地球环境急剧恶化,人们幡然醒悟,开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律,以及如何进行人口控制的问题。根据上表,预测 2000 年以后的世界人口发展趋势。解题思路: 1、问