文档介绍：2016-2017学年人教A版必修四 平面几何中的向量方法 学案
[学****目标] 、分析和解决实际问题的能力．
[知识链接]
1．向量可以解决哪些常见的几何问题？
答 (1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系．
(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题．
2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？
答 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[预****导引]
1．向量方法在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝＝.
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝.
2．直线的方向向量和法向量
(1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)．
(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B).
要点一 平面几何中的垂直问题
例1 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明 方法一 设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝⊥，即AF⊥DE.
方法二 如图建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，
F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)
＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
规律方法 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．
跟踪演练1 如图，点O是△ABC的外心，E为三角形内一点，满足＝＋＋，求证：⊥.
证明 ∵O为外心，∴||＝||.
∵＝－，
＝－＝(＋＋)－＝＋，
∴·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0，即·＝0.
故⊥.
要点二 平面几何中的长度问题
例2 如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，：AF＝AE.
证明 如图，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(－1,1)，B(0,1)．
若设E(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(1，－1)．
又∵∥，∴x·(－1)－1×(y－1)＝0，
∴x＋y－1＝0.
又∵||＝||，∴x2＋y2－2＝0.
由得或(舍)．
即E.
又设F(x′，1)，由＝(x′，1)和＝共线得：x′－＝0，得x′＝－2－，
∴F(－2－，1)，∴＝(－1－，0)，
＝