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第二节　广义积分的收敛判别法
上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．
（Cauchy收敛原理）f(x)在[a, +∞ ）上的广义积分收敛的充分必要条件是：, 存在A>0, 使得b, >A时，恒有
证明：对使用柯西收敛原理立即得此结论．
同样对瑕积分(为瑕点), 我们有
（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a,b–]上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是: , , 只要0<，就有
，我们称广义积分绝对收敛（也称f(x)在[a,+上绝对可积]; 如收敛而非绝对收敛，则称条件收敛，也称f(x)在[a,+上条件可积．
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由于，均有
因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理．
，则广义积分必收敛．
它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．
下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法．
比较判别法：
（无限区间上的广义积分）设在[a,+)上恒有（k为正常数）
则当收敛时,也收敛;
当发散时,也发散．
证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立．
对瑕积分有类似的结论判别法
设f(x), g(x)均为[a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使
[a,b), 则
如收敛，则也收敛。
2）如发散，则也发散．
比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．
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如果f(x), g(x)是[a,+上的非负函数, 且则
(1) 如果, 且收敛, 则积分也收敛．
(2) 如果, 且发散，则积分也发散．
证明：如果则对于, 存在A,
当时,
即成立. 显然与同时收敛或同时发散，在l=0或 l=时，可类似地讨论.
使用同样的方法，我们有
对以b为唯一瑕点的两个瑕积分与如果f(x), g (x) 是非负函数，且则
当, 且收敛时，则也收敛．
当，且发散时，则也发散．
对无限区间上的广义积分中，取作比较标准，则得到下列Cauchy判别法：设f(x)是[a,+的函数，在其任意闭区间上可积,那么:
　若0f(x)， p>1,那么积分收敛，如f(x)，p1,则积分发散．
其极限形式为
如(, p>1), 则积分收敛．
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如,而,1, 则发散.
判断下列广义积分的收敛性。
(1)
(2)(m>0, n>0)
解：（1）因为0
由收敛推出收敛．
（2）因为所以当n－m>1时，积分收敛. 当n－m1时，积分发散．
对于瑕积分，使