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第1讲 函数图象与性质第2讲 基本初等函数、函数与方程
高考定位 、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；,考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点,则a＝( )
A.－ B. C.
解析 f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1,令t＝x－1,
则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t),
∴函数g(t)为偶函数.
∵f(x)有唯一零点,∴g(t)也有唯一零点.
又g(t)为偶函数,由偶函数的性质知g(0)＝0,
∴2a－1＝0,解得a＝.
答案 C
2.(2018·天津卷)已知a＝log2e,b＝ln 2,c＝log,则a,b,c的大小关系是( )
>b>c >a>c
>b>a >a>b
解析 c＝log＝log23,a＝log2e,由y＝log2x在(0,＋∞)上是增函数,知c>a>＝ln 2<1
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,故c>a>b.
答案 D
3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )
A.[－1,0) B.[0,＋∞)
C.[－1,＋∞) D.[1,＋∞)
解析 函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点,即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点,作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,－a≤1,解得a≥－1.
答案 C
4.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,,则x的值是________.
解析 一年的总运费与总存储费用之和为y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240,当且仅当＝4x,即x＝30时,y有最小值240.
答案 30
考 点 整 合
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(4)loga＝logaM－logaN；
(5)logaMn＝nlogaM；
(6)alogaN＝N；
(7)logaN＝(注：a,b>0且a,b≠1,M>0,N>0).
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指数函数y＝ax(a>0,a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分0<a<1,a>1两种情况,当a>1时,两函数在定义域内都为增函数,当0<a<1时,两函数在定义域内都为减函数.
(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根,即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
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热点一 基本初等函数的图象与性质
【例1】 (1)(2018·郑州一模)若函数y＝a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
(2)(2018·济南质检)已知a(a＋1)≠0,若函数f(x)＝log2(ax－1)在(－3,－2)上为减函数,且函数g(x)＝在R上有最大值,则a的取值范围为( )
A. B.
C. D.∪
解析 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1},
∴a>1,则y＝logax在(0,＋∞)上是增函数,
又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称.
因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.
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(2)∵f(x)＝log2(ax－1)在(－3,－2)上为减函数,
∴∴a≤－,∵a(a＋1)≠0,
∴|a|∈∪(1,＋∞).当x≤时,g(x)＝4x∈(0,2],又g(x)＝在R上有最大值,则当x>时,log|a|x≤2,且|a|∈,∴log|a|≤2,∴|a|2≤,则|a|≤,又a≤－,∴－≤a≤－.
答案 (1)B (2)A
探究提高 、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数