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高三数学概念、方法、题型、易误点总结（八）
八、圆锥曲线
1. 圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F,，F2的距离的和等于常数 2a， 且此常数2a 一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1 F2，当常数小于F1F2时，无轨迹； 双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 2a，且此常数2a一定要小于|F1f2I，定义中 的“绝对值”与2a < |F 1F2|不可忽视。若2a = |F 1F2|，则轨迹是以F1, F2为端点的两条射线，若 2a > |F 1F2 |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
女口（ 1 ）已知定点F1（；,0）,F2（3,0）,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是
A •
PF1
+
PF2
=4
B.
PF1 +|PF2 =6
C.
PF1
+
PF2
=10
D.
2 2
PF1I + PF2 =12
_（2）_方程 J（x—6）2 +y2 —J（x+6）2 +y2 =8表示的曲线是
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线 ，且“点点距为分子、点线距为分母 ”，其
商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关 系，要善于 运用第二定义对它们进行相互转化 。
2
如已知点Q（2j2,0）及抛物线y = X上一动点p（ x,y）,则y+|PQ|的最小值是 一
4
2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）
2 2
（1）椭圆：焦点在x轴上时X2 y2 =1（ a b 0）二
a b
；x = a cos ：
• y 二 bsin
（参数方程,
其中、为参数）
#
2 2
焦点在y轴上时 每•笃=1 （ a b 0）。方程Ax2 By^ C表示椭圆的充要条件是什么？ （ABC工0,
a b
且A , B , C同号，A工B ）。
2 2
如（1）已知方程—J+—・=1表示椭圆，则k的取值范围为
3+k 2—k
（2）若x, y w R，且3x2 +2y2 =6，则x + y的最大值是 , x2 + y2的最小值是
2
（2）双曲线：焦点在x轴上：务
a
2 _ y_ b2
Ax2 - By2二C表示双曲线的充要条件是什么？（
=1
2 2
y x
，焦点在y轴上：一- 一2 = 1 （ a 0, b 0 ）。方程
a b
ABC工0，且A , B异号）。
2 2
如（1）双曲线的离心率等于 —，且与椭圆 - y =1有公共焦点，则该双曲线的方程
2 9 4
（2）设中心在坐标原点 O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率 2的双曲线C过点卩（4严10）,
则C的方程为
（3）抛物线：开口向右时y2 = 2 px（ p . 0）,开口向左时y2 = -2px（p 0）,开口向上时
2 2
x =2py（p . 0），开口向下时 x - -2py（p . 0）。
3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由x2, y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程
2 2
m -1 2 — m
=1表示焦点在
y轴上的椭圆，则
m的取值范围是
（2） 双曲线：由x 2, y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3） 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒:（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F,，F2的位置，是椭圆、
双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 a,b，确定椭圆、双曲线
的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，
a最大，a2 b2 c2，在双曲线中， c最大，c2 = a2 b2。
：
2 2
（1）椭圆（以 笃 = 1 （ a b 0 ）为例）：①范围：-a岂x乞a, -b岂y岂b :②焦点：两个焦 a2 b2
点（_c,0）:③对称性：两条对称轴 x=0,y =0, —个对称中心（0,0 ），四个顶点（_a,0）,（0, _b），其中
2
长轴长为2a，短轴长为2b ；④准线：两条准线 x = —；⑤离心率:
c