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厂罗尔中值定理
（第三节）
I柯西中值定理
中值定理\拉格朗日中值定理 塹 泰勒公式
应用严数甌及曲线性态
I利用导数解决实际问题
设y=f（x）是一条连续光滑的曲线，并且在点A、〃处的纵坐标相 等，即r⑷=f（b）,如图，那么我们容易看出，在弧励上至小有一
点ce/©）,曲线在C点有水平切线。 由上述的讨论，我们可以得到如 下定理——罗尔（Rolle）定理。
定理1 设函数/（兀）满足条件：
（1） 在闭区间［偽切上连续；
（2） 在开区间（必）内可导；
(3)
则在（偽方）内至少存在一点C使得 广⑷
证 因/（兀）在闭区间［a〃］上连续所以在［a〃］上一定取到最大值M
和最小值加。
⑴若M =加则/（兀）在［a如上是常数;
/(x) =M, xe [aJ)]
从而广(兀) = 0,因此，任取g (吶都有 广£) = 0
(2)若M定加，贝！JM,加中至小有一个不等于f(a),不妨设f(a)/ Mo因此，函数/(兀)在内(“)某一点f处取到最大值M。我们来证 广(£) = 0。
由于/(兀)在況取最大值，所以不论△兀为正或为负，总有
当△兀>0时，
Ax _
广(》inn 几H) so 八"Ax—o+ Ax
同理，当厶x v0时，/H —/U) » o
Ax
止)」迪出
Av->0~ [\X
因此必然有
广 £) = 0
3：
设函数/⑴在区间［“］上的图形 是一条连续光滑的曲线弧屈，显 然/(b)二厶(Q)是连接点
b — a
和点〃(人/⑹)的翦 的斜率，如 图所示，容易看出，在@如内至少 存在一点戒範上的点ce/©)
的切线与砸平行。
由上述的讨论，我们可以得到如下定理——拉格朗日(厶够九/炉) 中值定理。
定理2 设函数/（兀）满足条件：
（1） 在闭区间阪切上连续；
（2） 在开区间（血）内可导；
则在S如内至少存在一点C使得
件5化）
b — a
W⑷~f^） =广忆）@-a） （a <<^<b）
分析：若f（a）=f（b）即为罗尔定理，不妨设/⑷工/⑹，证明的
思路是借助一个辅助函数把拉格朗日定理转化为已知的罗尔定理。 容易看出，弦而的方程为
严弘）+件/⑷（…）
b — a
而曲线弧◎与弦殛的纵坐标之差为
g - f(a) - M)(乂 —①
b — a
它是兀的函数，将其记为⑷创，显然函数满足罗尔定理 的
条件证作辅助函数
0(兀)= f(x) - /(a) — ' —'⑷(兀一。) (兀丘［a, b］)
b — a
显然0(x)在上［a如连续，在S如可导，且
(p(a) — 0(b) = 0
于是由罗尔定理，至少存在一点e e (a,b),使得
心)=广⑷-/(?-/(“)= 0
b — a
即 = (*(恥)).
b — a
Miufe by OiuiCai Li
已知条件是y = /（x）, xe[a,b].因此，可得到一条过曲线两个端点的直线
/： S） +/（?"）（—）•
b-a
/ 存在什么样的关系？
Miufe by OiuiCai Li
G (ab)) b — a
在区间［兀兀 + Ax］上应用拉各朗日中值定理时， 结论可以写成
f(x + Ax) — /(x)=广(£)Ax (兀 V 疔 V 兀 + Ax) 由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。
推论1若函数/（兀）在（偽方）内任意点的导数广（兀）=0 ,贝I|/（x） 在S如内是一个常数。
证 在（a如内任意取两点兀1，x2f不妨设x1<x29显然/（兀）在 [a如上连续，在（兀1，兀2）内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一
Miufe by OiuiCai Li
点gw （xP兀2），使得
=广（钦>2 - “）
由条件知/X^） = 从而f（兀2）—/（兀1） = 0。即/（兀2）=/（兀1）。由兀1，兀2
是***@0）内的任意两点，于是我们就证明了 f （兀）在（a如内恒为一个常数。
推论2 若函数/（x）, g（兀）在（”）内可导，且 广（兀）三 g'O）, V xE（a,b）
则在（偽方）内，f（x）^g（x）最多相差一个常数，即
/（x） = g（x） + G x g （a, b）
其中C为常数。
事实上,因为09x c 由