文档介绍：三教上人（A+版-Applicable Achives）
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三教上人（A+版-Applicable Achives）
20GG年面几何讲义
1．一圆切于两条平行线，第二个圆切于，外切于，第三个圆切于，外切于，外切于，交于，求证是的外心。（35届IMO预选题）
证明由∥，知，从而有，即三点共线。同理由∥，可得三点共线。又因为，所以四点共圆，，即点在与的根轴上。又因为在与的根轴上，所以是与的根轴。同理是与的根轴，因此为根心，且有，即是的外心。
2．非等腰的内切圆圆心为，其与分别相切于点，分别交圆于，中的角平分线分别交于点，证明（1）是的角平分线；（2）如果是和的两个外接圆的交点，则点在直线上。（01年保加利亚）
证明（1）因为∽，∽，所以有，从而有，即是的角平分线。
（2）设的外心为，连，则。由于
，所以，于是有，即与相切于。同理与的外接圆相切于，从而在与的外接圆的根轴上，即三点共线。
3．已知圆外一点，由向圆引两条切线，切点分别为，过点作直线，与圆交于两点，且满足，若交于点，
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交于点，与的中垂线交于点，证明四点共圆。（05年日本）
证明因为是调和点列，且，所以在关于点的阿波罗尼斯圆上。连，有。设的外接圆与交于点，则有，即在的中垂线上，从而有，因此四点共圆。
4．若到的三个顶点的距离的比都是，且互不相等，则直线过的外接圆的一条直径。若设的外接圆圆心为，则。
证明法一：由于到的距离之比为，则在阿波罗尼斯圆上，其中与的交点为，且为调和点列。设与交于点，则，因此与相切于点，于是也与相切于点。同理，由于到的距离之比为，则在阿波罗尼斯圆上，设与交于点，于是与相切于点。因为，所以在与的根轴上，从而有三点共线。设与交于点，则，即为调和点列。
法二由于，则的外接圆就是关于点的阿波罗尼斯圆，从而在直线上，且有。
5．已知圆心分别为的圆外切于点，并内切于圆，切点分别为，过点作的公切线。设圆的直径垂直于，使得在的同侧，证明三线交于一点。（第47届IMO预选题）
证明设的中点为，为圆与圆的位似中心，由于半径分别垂直于，所以∥，且有三点共线。同理三点共线。
设交于点，由于，所以是的垂心，于是
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，这表明在直线上。
设与直线交于点，下面证明点在直线上。设与圆的第二个交点为，则是圆的直径，由梅涅劳斯定理的逆定理，要证三点共线，只要证。因为，所以只要证。设与交于点，则，从而只要证，即证是调和点列。连交于点，则是调和点列，因此有是调和点列。
6．设是梯形，∥，在其两腰上分别存在点，使得，证明点到梯形两对角线的交点的距离相等。（20届全俄）
证明设与的外接圆交于点，则有，所以点在上。又因为，所以。设与的外接圆半径分别为，，则，因此与的交点是
的外接圆与的外接圆的位似中心，设与的外接圆的圆心分别为，则在上，且是的中垂线，于是有。
7．圆均与圆外切，切点分别为，并且它们还分别与的两条边相切，证明三线共点。（20届全俄）
证明设的内切圆的圆心为，半径为，的半径分别为，则。设为上的一点，且满足，则，从而有在一条直线上。同理与均三点共线，即三线共点。
8．给定一个半圆周，其直径为，圆心为，一直线与半圆周相交于点
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，且与的延长线交于点，其中。设的外接圆的第二个交点为，证明是直角。（21届全俄）
证明法一连交于点，交于点，因为∥，且在上，所以只要证三点共线。由于是的直径，因此与相切。同理也均与相切。过作的平行线，与的延长线交于点，则，所以，即与均是等腰三角形，且对应边平行，因此对应顶点的连线交于一点，即三点共线。
法二设交于点，交于点，则为的垂心。连，分别交于点，则及为调和点列，所以是关于的极线，于是。同理，且是的垂心。由蒙日定理得过点，于是有。设与交于点，则，所以四点共圆，，于是有三点共线。
法三延长至，则
四点共圆。因为关于对称，所以有。
9．设点是凸四边形的对角线的交点，过的重心与的重心引一条直线，过的垂心与的垂心引一条直线，证明这两条直线互相垂直。（6届全苏）
证明设的重心分别为，则四边形是平行四边形，并满足分别平行于，
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