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初中数学《最值问题》典型例题
一、解决几何最值问题的通常思路
两点之间线段最短；
直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；
三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）
是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．
几何最值问题中的基本模型举例
轴对称最值
图形
原理
两点之间线段最短
两点之间线段最短
三角形三边关系
特征
A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值
A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值
A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值
转化
作其中一个定点关于定直线l的对称点
先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点
作其中一个定点关于定直线l的对称点
折叠最值
图形
原理
两点之间线段最短
特征
在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．
转化
转化成求AB'+B'N+NC的最小值
二、典型题型
1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=，则△PMN的周长的最小值为．
【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．
【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵PC关于OA对称，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP
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同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
∴△COD是等腰直角三角形．
则CD=OC=×3=6．
【题后