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第一章解三角形
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1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即亠=— = — = 2/?（其中R是三角形外接圆的半径）
sin A sin B sinC
：1）
a + b + c _ a _ b _ c sin A + sinB + sinC sin A sinB sinC
2) 化边为角:a：b:c = sinA:sinB:sinC :
a sin A b sin B a sin A
• — ■ — ■
h sin B e sin C ' c sinC '
3) 化边为角：« = 27?sin A. b = 2Rsin B, c = 2/?sinC
八八亠 * u sin A a sin B b sin A a
4） 化角为边： =一； =-; =-;
sin B b sinC c sin C c
5）化角为边：sin A = sin B = , sinC =
2R 2R 2R
3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边， 求其他两边和另一角；
例:已知角B, C, a,
.1. 」■ c 八▲ re。 v w u sin A b sin B a sin A v .
角牛法：由A+B+C-180 ,求角A,由正弦足理一= ;—= ;—= :求出
b sin B c sinC c sin C
b与c②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a, b, A,
解法：由正弦定理纟=竺1求出角B,由A+B+C二180°求出角C,再使用正
b sin B
弦定理巴=曲1求出c边
c sin C
4. AABC中，已知锐角A,边b,则
① a v Z?sin A时，B无解；
② a = bsin A或“ X Z?时，B有一个解：
③ bsin A v ° V”时，B有两个解。
如：①已知A = 6O°4 = 2" = 2、/3，求3
②已知A = 60。" = 2卫= 2、/!，求3 （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
二•三角形面积
1. S= —absinC = —besinA = —acsinB
A 2 2 2
2. SMBC =^（a + h + c）r,其中广是三角形内切圆半径.
3. Swe = JP(P-⑴(p-b)(p-c),其中 p = £(a+Z? + c),
4 等,R为外接圆半径
5. = 27?2 sin Asin BsinC, R 为外接圆半径 三•余弦定理
：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的2倍，即
a2 =b2 +c2 —2bccosA b2 =a2 +c2 — laccosB
c2 =a2 +b2 — labcosC
2•变形：cos A =
2hc
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