文档介绍：Z第一章解三角形
正弦定理：
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外
接圆的直径，即-sin A sin B
2•变形
a + b + csin A + sin B + sin C
^— = 2R （其中R是三角形外接圆的半径） sinC
a _ b _ csin A sin B sin C
2 ）化边为角：a: b:c = sin A: sin B : sin C ；
a A b _ sin B a A
b sin B 9 c sin C ' c sin C
3）化边为角
sin5 _b svaA_a sin C c，sin C c， sin B = 2-, sin C =2R 2R
b = 2R sin B, c = 2R sin C
4） 化角为边：沁=纟；
sin 5 b
5） 化角为边：sin^ = —,
2R
利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:
已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；
已知两边和其中一边的对角,求其他两个角及另一边。
AABC中，已知锐角A ,边b ,则
a <bsin A时，B无解；
a = bsin/或a > b日寸，B有一个解；
bsmA< a <b时，B有两个解。
注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
三角形面积
S^4BC = — sin C = —Z>c sin = — ac sin B
S^4BC =-^(a + b + c)r ,M中尸是三角形内切圆半径.
SMBC = Jp(p-a)(p-b)(p-c),其中 p = *(a + b + c),
° Saabc 为外接圆半径
SMBC = 2R' sin A sin B sin C ,R 为外接圆半径
余弦定理
：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们
夹角的余弦的积的2倍，即
a1 =b~ +c~ - 2bc cos A b2 = a2 +c2 - lac cos B c2 = a2 +b2 - lab cos C
:cos A =
，+c2-亍2bc
卅 I b?lac
cosC =
圧冷_C?lab
注意整体代入,如:宀—ncosH*
:
设a、b、c是AABC的角A、B、C的对边，则：
a + « _ a
c* +-Aa >a^ Qcm#= >0<^Z<90°
若， 2^ ，所以丄为锐角
若c2+b2=a2^A为直角
c* +Aa — <0<^A>90°
若 吐 ，所以丄为钝角则sc是 钝角三角形
利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 1 ）已知三边，求三个角
2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
三角形中常见的结论
1 ）三角形三角关系：A+B+C=180° ; C=180°—（A+B）;
2） 三角形三边关系：
两边之和大于第三边：, a+c>b , c+A>a ；
两边之差小于第三边:, a-c<b , c-b<a ；
3） 在同一个三角形中大边对