文档介绍：. -
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均值不等式应用（技巧）
一．均值不等式
1.（1）若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）
2. (1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）
(3)若，则(当且仅当时取“=”）
，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当时取“=”）
若，则(当且仅当时取“=”）
，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
，则（当且仅当时取“=”）
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x2＋ （2）y＝x＋
解：（1）y＝3x2＋≥2＝∴值域为[，+∞）
（2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；
当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧：
技巧一：凑项
例1：已知，求函数的最大值。
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解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，
，
当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1. 当时，求的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设，求函数的最大值。
解：∵∴∴
当且仅当即时等号成立。
技巧三： 分离
例3. 求的值域。
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分