文档介绍:第七章金属的电导理论
玻耳兹曼方程
费米分布函数是系统处于统计平衡状态时,电子占据量子态的几率。在恒定外场的作用下,电子达到一个新的定态统计分布。这种定态统计分布也可以用一个与平衡时相似的分布函数来描述。例如在恒定外电场中,单位体积在dk中的电子数为:
()
它们的速度为,对电流密度的贡献为
()
积分后可得总的电流密度:
()
由此,一旦确定了分布函数,就可以直接计算电流密度。这种通过非平衡情况下的分布函数来研究输运过程的方法,就是分布函数法。在自由电子模型中,电子的输运过程与在外场力作用下产生的漂移和电子和声子的碰撞有关。
1 漂移项
在存在恒定电场E和磁场B时,电子的状态改变为:
()
分布函数相应的变化,可以看成在k空间流体密度和流速满足的连续性方程:
()
代入运动方程可得上式右边第二项为零:
()
因此,分布函数由电磁场引起的变化为:
()
这个结果可以从另一个角度考虑。在到达k的电子,在t时刻必然在位置,对比同一时刻在k和的分布函数值可得:
()
因此()
由于分布函数的变化完全是由k空间一点“漂移”到另一点的结果,因此分布函数的这种变化,通常称为漂移项。存在温度梯度时,分布函数就与r空间的坐标相关,变成。类似的从连续性方程分析可得:
()
2 碰撞项
在理想的完整金属晶体中,离子处于严格周期排列的位置,布洛赫电子在离子产生的严格周期势场中运动,布洛赫电子的状态是由确定能量和确定波矢的布洛赫波函数描述的稳定态。如果考虑离子在格点附近的热振动,周期势场就被破坏,附加的偏离周期势场的势场可以看作微扰,它将使电子从一个稳定态跃迁到另一个稳定态。即出现散射。由于晶格振动可以用声子描述,因此布洛赫电子和晶格之间的相互作用,可以用电子和声子之间的散射来描述。一般用跃迁几率函数来描述单位时间内由状态k跃迁到k'的几率。如果只考虑自旋不变的跃迁,单位体积在k空间dk内的电子数为:,这些电子在时间内将由于向所有其它可能的状态k’跃迁而减少的数目为:
()
其中表示k’态未被占据的几率,将上式对所有状态积分,就得到在时间内k空间dk体积内失去电子的数目:
()
另一方面,由于从其它所有状态跃迁到dk中来的电子,使dk内的电子数增加,这一部分的表达式显然可以通过将上式中积分函数的k和k’对调直接写出:
()
这两部分之差就是在时间内k空间dk体积内电子数的变化:
()
其中,是由于碰撞散射引起的分布函数的变化,a和b为:
()
()
因此由碰撞引起的分布函数的变化率为:
()
3 玻耳兹曼方程
考虑到漂移项和碰撞项的贡献,分布函数的变化率为:
()
这就是玻耳兹曼方程。对于定态问题,例如恒定的电磁场或温度梯度下的输运过程,分布函数不随时间改变,玻耳兹曼方程变成:
()
如果分布函数与r空间的坐标r无关,在外电场E中玻耳兹曼方程简化为:
()
弛豫时间近似和电导率公式
1 弛豫时间近似
一般情况下,