文档介绍：第四章力学量随时间的演化与对称性
力学量随时间的演化
守恒量
经典力学:力学量A处于一定状态,作为时间的函数,每个时刻有确定值.
量子力学:力学量A处于ψ态,每一时刻,不是所有力学量都有确定值,一般只有确定的概率分布与平均值.
本节讨论力学量随时间的演化问题,先讨论力学量平均值如何随时间改变
力学量A的平均值为:
它随时间演化为
若 A 不显含t,则
若[A,H]=0
既: 这种力学量在任何态下的平均值不随时间改变。
证明:在任意态下A的概率分布也不随时间改变。 首先,选择包括H和A在内的一组力学量完备集,其共同本征态为 即 则,在该态下,在t时刻测量A得的概率为 因此,A称为量子体系的一个守恒量
关于量子体系的守恒量的几点说明
量子体系的守恒量不一定取确定值,即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。若初始时刻体系处于守恒量A的本征态,则体系将保持在这个本征态;若初始时刻体系并不处在守恒量A的本征态,以后的状态也不是A的本征态。
量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。
与定态区分:
定态:体系的一种特殊的状态-能量本征态。在定态下,一切力学量(不显含t)的平均值和测量概率分布都不随时间改变。
守恒量:体系的一种特殊的力学量,与哈密顿量对易。在一切状态下的平均值和概率分布都不随时间改变。
定理: 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和 G,即[F,H]=0,[G,H]=0,[F,G]≠0则体系能级一般是简并的。
推论: 如果体系有一个守恒量F,而体系的某条能级不简并(即对应于某能量本征值E只有一个本征态ΨE),则ΨE必为F的本征态。
当能级出现简并时,可以根据对体系对称性的分析,找出其守恒量。然后要求能量本征态同时又是包含H在内的对易守恒量完全集的共同本征态,就可把能级的各简并态标记清楚。
位力(virial)定理 设粒子处于势场V(r)中, 对于定态, 所以 即 此式位位力定理
波包的运动,Ehrenfest定理
设粒子的Hamilton量为
把(2)带入(3)得
此谓Ehrenfest定理
当可以近似代之为时,波包中心的运动规律才与经典粒子相同。
?
考虑一维波包的运动
在波包中心附近对V(x)作Taylor展开,令
可见,只当
时, 才可近似代之为 要求上式在整个过程中成立,就要求 (a)波包很窄,而且在运动过程中扩散不厉害 (b)V在空间变化较缓慢(在波包范围中变化很小)
例α粒子对原子的散射
原子的半径约为a≈10-~,则动量为, 为α粒子质量。
在对原子的散射过程中, α粒子穿越原子的时间约为
在时间间隔中,波包扩散约为
如果要把粒子看成经典粒子,要求由不确定度关系,
与天然放射性元素放射出来的α粒子的动量比较成立,所以可以用经典粒子来近似描述。
α