文档介绍：《高等数学》(I)期末练****题
第一章函数与极限
“充分”、“必要”和“充要”二者中选择一个正确的填入下列空格内: ⑴数列｛Xn ｝有界是数列｛Xn ｝收敛的_条件，数列｛Xn ｝收敛是数列Bn ｝有界的_条件。
⑵f(x)在X。某一去心邻域内有界是呻仅)存在的—条件，岬仅)存在是f(x)在
X。的某一去心邻域内有界的 条件。
)x limf(x) limf(x)=8
RXJ在X。某一去心邻域内无界是XTX° =8存在的 条件，XTX。 是
f(x)在X。的某一去心邻域内无界的 条件。
1 • f (x)
f(x)当XTX°时的右极限f(x + o)及左极限f(x-0)都存在且相等是X* 存在 的—条件。
x,x >0
1—x，x< °与y = JF表示同一函数的理由，这函数是初等函数吗？
“分段函数一定不是初等函数”这种说法是不对的。
04说明符号函数y = sgnx不是初等函数的理由。
L05设f(x)的定义域是[。，1],求下列函数的定义域：
⑴f(e')⑵ f(lnx) (3)f(arctgx) (4)f(cosx)
g(x)4 °*°
设 [x,x〉0, [-x-,x >0f[f(x)],g[g(x)], f[g(x)],g[f(x)]o
07利用y = sinx的图象作出下列函数的图形。
1 . x2 — x — 6
lim —]
： X-3
10求下列极限：
x2 -x + 1
]im
XTl (X- 1)
limx(-x/x2+l-x)
XT+8
lim
(3) XT+oo
2x + 3
2x +1
x+1
tgx 一 sin x
xsin — x
ex-1 x > 0
〔a + x x<°要使f(x)在(-3,+oo)内连续，应当怎样选择数& ?
(x)=〔ln(l + x) -l<x<0求f(x)的间断点，并说明间断点所属类型。
lim
证明：—8 + x + l = O 在(-71/2,71/2)内至少有一个根。
第二章导数与微分
“充分”、“必要”和“充要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：
'仅)在点X。可导是f(x)在点X。连续的 条件，f(x)在点X。连续是f(x)在点X。可
导的—条件。
f(x)在点x。的左导数f-(xo)及右导数f：(Xo)都存在且相等是f(x)在点X。可导的_条
件。
1仅)在点乂。可导是£仅)在点乂0可微的 条件。
2. 04
⑴ f(x)=[ln(l + x
x>0
p x w 0
l + ex
⑵ f(x)=〔0 x = 0
f . 1 n
xsin— x 0
] x
(x)=〔° ' = °在x = 0处的连续性与可导性。
06求下列函数的导数。
⑴ y = arcsin(sin x)
1 + x
y = arctg-——
⑵ 1-x
, x ,
y = In tg cos x - In tgx
(3) 2 '
⑷ y = ln(e、+ 71 + e2x)
⑸y =扳 x>0
07求下列函数的二阶导数。
⑴ y = cos2x lnx
x
y= I =
(2) Jl-x
08求下列函数的n阶导数。
(1)y =
1-x y =
⑵ 1 + x
2. 09设函数y = y(x)由方程e，+ xy = e所确定，求y〃(0)。
dy d2y
?。
Jx = a cos3 0
⑴"asii?。
x = ln Vl + t2^
<
(2) W = arc tan t
Jx = 2e：
2. ii求曲线ly="在t=o相应的点处的切线方程及法线方程。
2. 13利用函数的微分代替函数的增量，求V液的近似值。
第三章中值定理与导数的应用
01列举一个函数f(x)满足：£仅)在/,引上连续，在(a,b)内除某一点外处处可导，但 在(a,b)内不存在点&,使 晌-f(a) = f'(&)(b-a)
„ n9 湛imf，(x) = k lim［f(x + a)-f(x)］
02 设 XT8 ,求 XT8
03证明多项式f (x) = X，- 3x + a在［0,1］上不可能有两个零点。
a, 1 _
设 2 n + 1 ,证明多项式f(x) = a0 +a］X + --- + anx 在
(0, 1)内至少有一个零点