文档介绍：复****专题
一、 重要极限、无穷小的运算法则、高阶无穷小、等价无穷小代换、洛必达法则
2 • 1
x sin— 1 。2
「 sinn 「 r 「 1-cos 2x
lim—, lim-j p , lim =
y/n xt0 sin x x
（aT+r
设a、（3、/是给定实数，贝ijlim 1 + - =
18 k n j
若lim| 1 + — | =5,则q =
x）
若当xtO时，f（x）是的高阶无穷小，则lim , f（Q。=
a-^o （e21-l）sin2x
lim-
xtO
-Sinx
-e
lim| -^--cot2 x
lim xtO
‘2 + 3，、 丁J
6.
【答案】1. 0（无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小），0（第一个重要极限）,
2 （等价无穷小代换、第一个重要极限）
错误解法:
「 sinn 「 lim = lim
sin n
n—>oo
n—>oo
4n j = lim s" " . lim 4n = 1 • +oo = +oo
J n—>oo 九 "Too
正确解法：lim
xtO
2 • 1
x sin —
-——Tim
10
sinx
|2 . 1
x sin —
「~~ Tim
10 k
sinx
sinx
•|x|-sin —
x )
=0
「 1 — COS 2子 2（子）2 /人人人十,、,［八、s、
lim = lim ——-一 =2 （等价无穷小代换）
XT。 JQ XT。 jq
「 1-cos2x2 「 2（sinx2）2 sinx2Y z_ 人工头二林口、
lim =hm ― =2 lim—— =2 （第一个重要极限）
xtO y xtO y xtO y
人 j\i \ j\i
eap （「型未定式，第二个重要极限）
lim| 1 + - n
n—>oo
J3n+y
I = lim
' n—>co
l+g
n
a/3
Y
= ea/3 A = eaP
In5, L型未定式，第二个重要极限，解答过程如下:
lim I 1 + —
x
■XToo
=lim
X-»oo
x/a
lim I 1 + —
x
X->00
0 （高阶无穷小、等价无穷小代换）
lim , E , Tim 业4 = £m 与」o = o
io (e2x -1) sin2 x 2x-x2 2 工顶 %3 2
I 0 2
一（—型未定式，三次洛必达法则），-（oo-oo型未定式，四次洛必达法则）,
6 0 3
抠（l00型未定式）
间断点的判定
/(%) =
x . 1
e +xsin —,
x
1,
1
2 一
— arctan—
（A） 连续点
ln(l + x),
【答案】1.
x=i,则x = i是函数y*（x）的.
（B）跳跃间断点
（C）无穷间断点
（D）振荡间断点
x>0有第一类间断点.
-l<x<0
,第二类间断点.
B,解题要点:
lim /(x) = lim | + x sin — j = e + sin 1 1 = / (I),
“- XTl— [ X )
lim f (x) = lim
XT1+ X->1+
1
— arctan —
71 X
三、 导数的定义
设 f'3o)存在，则 lim 山—&)一 g)= ,
*tO &
limfWTW -
/ito h —
lim ' J。+ 愆)一 g — 2怂)-
40 2 Ar
设f(a) = 2, f'(a) = 3,则lim'"a + 2/0-f之怎-力)=
必° h
设/(x)在 x = a 处可导，且 fr(a) = Z? w 0,则 lim =
xto f (a + sinx)- f (a-sinx)
设f(x)在x = 2处连续，且lim』^ = 2,求f'(2).
12尤一2
【答案】1****题2-1第3题)—广3°)，2广3°)，-/r(x0).
36,解答过程如下：
limf2(a + 2/；)-/2(a-/；)=[血「2. E + 2h)-E) «"a-h)-尸(a)「
"to h "t。 2h —h
-2 1血广(。+ 2力)-广⑴门血f"a-力)-产⑴ "to 2/z "项 —h
=2 顷 J)]'+顷(a)]=3[f2(a)J
= 3・2f(a)f'(a) = 3x2x2x3 = 36
土，解答过程如下：交换分子、分母的位置，则 lb
lim /(。+、山 x^~ f