文档介绍：§ 什么是数学建模
数学模型可以描述为：为了认识客观对象在数量方面的特征、定量的分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。
我们所说的数学建模，包括模型的建立、求解、分析和
解释以及检验的全过程。
模型是人们为了一定的目的,对客观事物的某一部分进行
简缩、抽象、提练出来的原型的替代物，它集中反映了原型
中人们所需要的那一部分特征。
简而言之：为了定量地解决一个实际问题，从中抽象、归纳出来的数学表述。
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例、甲乙两地相距750km，船从甲地到乙地顺水航行需30小 时，从乙地到甲地逆水航行需50小时，问船的速度是多少？
解. 设x，y分别表示船速和水速，列出方程
求解得到
上题包含了建立数学模型的基本内容：
⑴简化假设：航行中的船速和水速为常数；
⑵用符号代表有关的量 x代表船速，y代表水速；
⑶利用物理规律得到数学表述——二元一次方程；
⑷求解方程，得到
⑸回答原问题，船速为20km/h；
⑹对于实际问题，以上结果必须用实际信息来检验。
现实对象
的信息
预测/解释
数学模型
数学结论
简化
求解
阐明
验证
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§ 数学建模的实例与数学实验方法
例1、汽车刹车距离. 汽车司机在行驶过程中发现前方出现突发事件,,称为刹车距离. 现做了一组实验：用固定牌子的汽车,由同一司机驾驶,在不变的道路、气候条件下，对不同的车速测量其刹车距离，得到的数据如下表所示，试建立刹车距离与车速之间的数学模型.
车速km/h
20
40
60
80
100
120
140
刹车距离m
作图 plot（v，d，‘ro’） grid on
问题分析:
刹车距离由反应距离和制动距离两部分构成；反应距离由反应时间和车速决定；制动距离与制动器的作用力、车重、车速及道路、气候等因素有关
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⑴刹车距离d=反应距离+制动距离= d1+d2
⑵反应距离与车速成正比；
⑶刹车时使用最大制动力F,F做的功等于汽车动能的改变.
模型建立：
模型假设：
由假设⑵，有 d1=k1v
由假设⑶，有
牛顿第二定律
d2=k2 v2
于是
d=k1v + k2 v2
车速km/h
20
40
60
80
100
120
140
刹车距离m
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例2、 市场经济中的蛛网模型
经济现象：很多商品在市场上的供应量与其价格之间呈现不断
交替变化的规律。
问题：商品数量和价格的交替变化(震荡现象)是否能达到稳定点？或是永远循环下去？是什么原因促使这种稳定或不稳定？
步骤：1. 通过图形方法建立反映上述现象的图示模型；
2. 研究市场经济趋向平稳的条件；
3. 建立数学模型，对结果予以分析；
4. 讨论当经济趋向不稳定时，政府可能采取的干预方式。
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一、 蛛网模型
记商品第k时段的上市数量为xk，价格为yk，这里我们把时间
离散化为时段，1个时段相当于1个生产周期。
价格yk取决于商品上市数量xk，由统计资料得到其关系为
yk = f ( xk )
称其为需求函数，其图形称为需求曲线。它应该是一条下降的曲线。一般说来，f 与消费者对商品的需求程度和他们的消费水平有关。消费者收入增加时，f将上移。
x
y
o
f(x)
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下一时段某商品的上市量xk+1由上一时段的价格yk所决定，
其函数关系记作：
xk+1=h(yk) 或者 yk= g(xk+1)
这里g是h的反函数，反映生产者的供应关系，称为供应函数，
其曲线称为供应曲线。它应该是一条上升的曲线。
x
y
o
g(x)
g(x)也是根据各时段供应数量
与价格的统计资料得到。它取
决于生产者的生产能力和经营
水平，当生产能力技术水平提
高时，g向右移。
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一旦某时段k的上市量xk=x0，则
k以后的各时段的上市量和价格
将永远保持在P0(x0,y0)点。但事
实上由于各种干扰，商品数量与
价格是不可能保持在P0点的。
x
y
o
f(x)
g(x)
P0
x0
y0
x
y
o
f(x)
g(x)
P0
x1
x
y
o
f