文档介绍：北京科技大学2002——2003学年度第一学期
量子力学与原子物理试题
题号
一
二
三
四
五
总分
学院:
班级:
学号:
姓名:
得分
1。无限高势阱中的粒子[38分]
质量为的一个粒子在边长为立方盒子中运动,粒子所受势能由下式给出:
1-1)列出定态薛定谔方程,用分离变量法()求系统能量本征值和归一化波函数;[8分]
1-2)求系统基态能量、第一激发态能量,及基态与第一激发态简并度。[8分]
1-3)假设有两个电子在方盒中运动,不考虑电子间相互作用,系统基态能是多少?并写出归一化系统基态波函数(提示:要考虑电子自旋);[12分]
1-4)假设有两个玻色子在方盒中运动,不考虑玻色子间相互作用,系统基态能是多少?并写出归一化系统基态波函数;[10分]
解:1-1)定态薛定谔方程:
分离变量:,
;;
,
1-2)系统基态能量:,简并度:1
第一激发态能量:,简并度:3
1-3)电子是费米子,波函数应是反对称的:
由于自旋部分波函数可取反对称,轨道部分波函数可以取对称的,即轨道部分可取相同的态;
基态:,基态波函数:
1-4)玻色子可占据相同态,基态:,基态波函数:
2。玻色-爱因斯坦凝聚[25分]
承接上题,假设有个玻色子在方盒中运动,不考虑玻色子间相互作用,当温度时,将发生玻色-爱因斯坦凝聚,即全部玻色子都布居在系统基态。实际上,当趋于某个临界温度时,就可观察到玻色-爱因斯坦凝聚的发生。这可以解释为:时,量子效应不明显,粒子可看作是经典粒子,不发生玻色-爱因斯坦凝聚。当时,量子效应不可以忽略,玻色-爱因斯坦凝聚开始发生。1995年,Ketterle(2001年诺贝尔物理奖)使用Na原子为玻色子,在实验中观测到了Na原子的玻色-爱因斯坦凝聚。
2-1)实验中Na原子气的数密度为:,估算粒子间平均距离。[5分]
()
2-2)根据能均分原理,估算粒子在温度时的平均动能。[5分]
2-3)根据德布罗意关系,估算粒子物质波波长。[5分]
2-4)当粒子平均距离小于物质波波长时,相邻原子波函数交叠很厉害,量子效应不可以忽略
,玻色-爱因斯坦凝聚开始发生;而当粒子平均距离大于物质波波长时,相邻原子波函数几乎不交叠,量子效应可以忽略,不发生玻色-爱因斯坦凝聚。利用条件:,估算发生玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度。[10分]
(注:实验观测值为数量级)
[物理常数:Na原子质量:,普朗克常数:,玻尔兹曼常数:]
解:2-1),所以:
2-2)根据能均分原理,单粒子平均能量:
2-3)
2-4),,
讨论)实验测量值为:,与估算值相差还是较大的。更严格的计算:假设有个无相互作用玻色子,在温度时,部分玻色子由于玻色-爱因斯坦凝聚占据最低能态,其余玻色子则占据各激发态
,
为态密度,(假设玻色子自旋为0)
,,
在绝对零度时,全部玻色子发生玻色凝聚,重新选择能量零点为系统基态能():
由于宏观系统,所以:
变量