文档介绍：第一部分椭圆相关知识点讲解
椭圆的定义及椭圆的标准方程：
椭圆的定义：平面内一个动点P到两个定点乙、己的距离之和等于常数 (\PF, | + |PF2 \=2a>\FlF2\)， 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意：若(|S | + |堕|=旧司)，则动点P的轨迹为线段时2；
若(冏| + |堕|<|片灼|)，则动点P的轨迹无图形.
椭圆的标准方程
2 2
C1)当焦点在X轴上时，椭圆的标准方程：二+谷=1(。〉5〉0),其中 a~ b-
2 2 7 2
c - a -b
2 2
C2)当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：七+二= l(a〉b〉O),其中 a b
c2 =a2-b2；
注意：，对称轴为坐标轴建立直角坐标系 时，才能得到椭圆的标准方程；
在椭圆的两种标准方程中，都有(a > b > 0)和c2=a2-Z/；
椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在X轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0), (-c,0)；
当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c), (0,-c)
圆的参数方程：RM；*'# (其中伊为参数).
I y — u sm (p
方程Ax2+By2=C表示椭圆的充要条件是什么？(ABC尹0,且A, B, C同号， A#B)o
：
(1)点P(x0,y0)在椭圆外0典+典〉1；
a b
2 2
点P(x0,y0)在椭圆上=性+典=1；
a b
2 2
点P(x0,y0)在椭圆内=-^ +籍~<1
a b
2 2
椭圆：与+仁= l(a〉b〉0)的简单几何性质
a b
2 2
对称性：对于椭圆标准方程「+「= l(a〉b〉0)：说明：把x换
«2 b2
成一工、或把y换成一^、或把X、y同时换成一尤、一^、原方程都不变，
2 2
所以椭圆土+ % = 1是以X轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原 a" b~
点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
范围：
椭圆上所有的点都位于直线x = +a^y = +b所围成的矩形内，所以椭圆上
点的坐标满足\ <a , |y \ <b o
顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
2 2
②椭圆A + J = l(a〉b〉0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 a b
A (-q,0) , A2 (a,0), Bl (09-b), B2(0,Z?)
③线段A%，坊马分别叫做椭圆的长轴和短轴，I A，| = 2a,| BtB2 | = 2。。a和 b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
：
C1)相交：A>0^直线与椭圆相交;
相切：△ = () =直线与椭圆相切;
相离：△<0u>直线与椭圆相离;
2 2 2 2
+ 与* +，E>b>°)的区别和联系
标准方程
2 2
—1
a2 b2 (a > b > 0)
2 2
匕+j
a2 b2 (a〉》〉0)
图形
y\
杰
<7
A、
第一定义
平面内与两定点Fl, F2距离的和等于常数M（＞匡％|）的点的轨 迹叫做椭圆，即点集 M={PI IPFll+IPF2l=2a, 2a＞IFlF2l=2c}； 这里两个定点FL F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的 焦距2c。（2a = \F^\时为线段FiF2, 2。＜”局无轨迹）
性
质
焦点
焦点 F (±c, 0)
焦点 F (0, ±c)
焦距
IFlF2l=2c
焦点位置
跟着分母大的走
a、 b、 c 关 系
a2 =b~ +c2其中a最大，b、c不确定
范围
■aWxWa 广bWyWb
・bWxWb,・aWyWa
对称性
关于x轴y轴轴对称，关于原点中心对称，椭圆的对称中心（即 原点）叫做椭圆的中心
顶点
Al (-a, 0), A2 (a, 0),
Bl (0, -b) ,B2 (0, b)
Al (0, -a), A2 (0, a),
Bl (-b, 0), B2 (b, 0)
轴长
线段A匹，郁2分别叫做椭圆的长轴、短轴，
长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
离心率及 其范围和 几何意义
2c c
椭圆的焦距与长轴长的比京，即j称为椭圆的离心率，
e2=4 = l-（-）2
记作 e （0<e<l）, a~ a ,
e越接近于0,椭圆就越接近于圆； e越接近于1 ,