文档介绍：第三章一维定态问题
)设粒子处在二维无限深势阱中,
求粒子的能量本征值和本征波函数。如,能级的简并度如何?
解:能量的本征值和本征函数为
若,则
这时,若,则能级不简并;若,则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况,如与)
)设粒子限制在矩形匣子中运动,即
求粒子的能量本征值和本征波函数。如,讨论能级的简并度。
解:能量本征值和本征波函数为
,
当时,
时,能级不简并;
三者中有二者相等,而第三者不等时,能级一般为三重简并的。
三者皆不相等时,能级一般为6度简并的。
如
)设粒子处在一维无限深方势阱中,
证明处于定态的粒子
讨论的情况,并于经典力学计算结果相比较。
证:设粒子处于第n个本征态,其本征函数
.
(1)
(2)
在经典情况下,在区间粒子除与阱壁碰撞(设碰撞时间不计,且为弹性碰撞,即粒子碰撞后仅运动方向改变,但动能、速度不变)外,来回作匀速运动,因此粒子处于范围的几率为,故
, (3)
,
(4)
当时,量子力学的结果与经典力学结果一致。
)设粒子处在一维无限深方势阱中,
处于基态,求粒子的动量分布。
解:基态波函数为, (参P57,(12))
动量的几率分布
)设粒子处于半壁高的势场中
(1)
求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。
解:分区域写出:
(2)
其中(3)
方程的解为(4)
根据对波函数的有限性要求,当时,有限,则
当时,,则
于是(5)
在处,波函数及其一级导数连续,得
(6)
上两方程相比,得(7)
即(7’)
若令(8)
则由(7)和(3),我们将得到两个方程:
(10)式是以为半径的圆。对于束缚态来说,,
结合(3)、(8)式可知,和都大于零。(10)式表达的圆与曲线在第一象限的交点可决定束缚态能级。当,即,亦即
(11)
时,至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量,位阱深度和宽度的一个限制。
3—6)求不对称势阱中粒子的能量本征值。
解:仅讨论分立能级的情况,即,
当时,,故有
由在、处的连续条件,得
(1)
由(1a)可得(2)
由于皆为正值,故由(1b),知为二,四象限的角。
因而(3)
又由(1),余切函数的周期为,故由(2)式,
(4)
由(3),得(5)
结合(4),(5),得
或(6)
一般而言,给定一个值,有一个解,相当于有一个能级:
(7)
当时,仅当
才有束缚态,故给定时,仅当(8)
时才有束缚态(若,则无论和的值如何,至少总有一个能级)
当给定时,由(7)式可求出个能级(若有个能级的话)。相应的波函数为:
其中
3—7)设粒子(能量)从左入射,碰到下列势阱(图),求阱壁处的反射系数。
解:势阱为
在区域Ⅰ上有入射波与反射波,在区域Ⅱ上仅有透射波。故
由,得。
由,得。
从上二式消去c, 得。
反射系数
将代入运算,可得
3—8)利用Hermite多项式的递推关系(附录A3。式(11)),证明
谐振子波函数满足下列关系
并由此证明,在态下,
证:谐振子波函数(1)
其中,归一化常数(2)
的递推关系为(3)

3—9)利用Hermite多项式的求导公式。证明((12))
证:(12):
3—10)谐振子处于态下,计算
,,
解:由题3—6),
由题3—7),
对于基态,,刚好是测不准关系所规定的下限。
3—11)荷电q的谐振子,受到外电场的作用,
(1)
求能量本征值和本征函数。
解: (2)
的本征函数为,
本征值
现将的本征值记为,本症函数记为。
式(1)的势能项可以写成
其中(3)
如作坐标平移,令(4)
由于(5)
可表成(6)
(6)式中的与(2)式中的相比较,易见和的差别在于变量由换成,并添加了常数项,由此可知
(7)
(8)
即
(9)
(10)
其中(11)
3—12)设粒子在下列势阱中运动,
求粒子能级。
解:既然粒子不能穿入的区域,。另一方面,在的区域,这些本征函数和谐振子的本征函数相同(因在这个区域,粒子的和谐振子的完全一样,)。振子的具有的奇宇称波函数在处为零,因而这些波函数是这一问题的解(的偶宇称波函数不满足边条件)所以
3—13)设粒子在下列势阱中运动,
(1)
是否存在束缚定态?求存在束缚定态的条件。
解:: (2)
对于束缚态(),令(3)
则(4)
积分,,得跃变的条件
(5)
在处,方程(4)化为