文档介绍：第四章力学量用算符表达与表象变换
)设与为厄米算符,则和也是厄米算符。由此证明,任何一个算符均可分解为,与均为厄米算符,且
证:ⅰ)
为厄米算符。
ⅱ)
也为厄米算符。
ⅲ)令,则,
且定义(1)
由ⅰ),ⅱ)得,即和皆为厄米算符。
则由(1)式,不难解得
)设是的整函数,证明
整函数是指可以展开成。
证: (1)先证。
同理,
现在,
而。
又
而
)定义反对易式,证明
证:
)设,,为矢量算符,和的标积和矢积定义为
,为Levi-civita符号,试验证
(1)
(2)
(3)
证:
(1)式左端
(1)式右端也可以化成。(1)式得证。
(2)式左端()
(2)式右端
故(2)式成立。
(3)式验证可仿(2)式。
)设与为矢量算符,为标量算符,证明
(1)
(2)
证:(1)式右端
(1)式左端
(2)式右端

(2)式左端
)设是由,构成的标量算符,证明
(1)
证: (2)
(3)
同理可证, (4)
(5)
将式(3)、(4)、(5)代入式(2),于是(1)式得证。
)证明
。
证:
利用基本对易式
即得。
因此
其次,由于和对易,所以
因此,
)证明(1)
(2)
(3)
(4)
证: (1)利用公式,,有
其中
因此
(2)利用公式, (Δ)
可得
①
②
③
由①②③,则(2)得证。
(3)
(4)就此式的一个分量加以证明,)(2),
,
其中
(即)
类似地。可以得到分量和分量的公式,故(4)题得证。
)定义径向动量算符
证明:, ,
,
,
证:,
即为厄米算符。
)(1),。
其中,
因而
以左乘上式各项,即得
)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。
解:一维谐振子能量。
又奇,,,
(由()、()题可知)
,,
由测不准关系,得。
,得
同理有,。
谐振子(三维)基态能量。
) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。
解:类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似,只是把氢原子中有关公式中的核电荷数换成(为氢原子系数)而理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径,在类氢原子中变为。
类氢原子基态波函数,仅是的函数。
而,故只考虑径向测不准关系, 类氢原子径向能量为:。
而,如果只考虑基态,它可写为
,
与共轭,于是,,
(1)
求极值
由此得(:玻尔半径;:类氢原子中的电子基态“轨迹”半径)。代入(1)式,得
基态能量,
运算中做了一些不严格的代换,如,作为估算是允许的。
)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。
证:设定态波函数的空间部分为,则有
为求的平均值,我们注意到坐标算符与的对易关系:
。
这里已用到最基本的对易关系,由此
这里用到了的厄米性。
这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符可以表示为两个厄米算符和的对易子,则在或的本征态中,的平均值必为0。
)证明在的本征态下,。
(提示:利用,求平均。)
证:设是的本征态,本征值为,即
,
,
同理有:。
) 设粒子处于状态下,求和
解:记本征态为,满足本征方程
,,,
利用基本对易式,
可得算符关系

将上式在态下求平均,因作用于或后均变成本征值,使得后两项对平均值的贡献互相抵消,因此
又
上题已证。
同理。
)设体系处于状态(已归一化,即),求
(a)的可能测值及平均值;
(b)的可能测值及相应的几率;
(c)的可能测值及相应的几率。
解:,;
,。
(a)由于已归一化,故的可能测值为,0,相应的几率为,。平均值。
(b)的可能测值为,,相应的几率为,。
(c)若,不为0,则(及)的可能测值为:,,0,,。
1)在的空间,对角化的表象中的矩阵是
求本征矢并令,则,
得,,,。。
ⅰ)取,得,本征矢为,归一化后可得本征矢为。