文档介绍：第五章力学量随时间的变化与对称性
)设力学量不显含,为本体系的Hamilton量,证明
,则有,
令
则,
)设力学量不显含,证明束缚定态,
证:束缚定态为::。
在束缚定态,有。
其复共轭为。
。
)(Bloch波函数),
是的本征态,相应的本征值为
证:
,证毕。
)设表示的本征态(本征值为),证明
是角动量沿空间方向的分量
的本征态。
证:算符相当于将体系绕轴转角,算符相当于将体系绕轴转角,原为的本征态,本征值为,经过两次转动,固定于体系的坐标系(即随体系一起转动的坐标系)的轴(开始时和实验室轴重合)已转到实验室坐标系的方向,即方向,变成了,即变成了的本征态。本征值是状态的物理属性,不受坐标变换的影响,故仍为。(还有解法二,参钱. .《剖析》. P327)
)设Hamilton量。证明下列求和规则
。
是的一个分量, 是对一切定态求和,是相应于态的能量本征值,。
证: ()
又
,
。
不难得出,对于分量,亦有同样的结论,证毕。
)设为厄米算符,证明能量表象中求和规则为
(1)
证:式(1)左端
(2)
计算中用到了公式。
由于是厄米算符,有下列算符关系:
(3)
式(2)取共轭,得到
(4)
结合式(2)和(4),得
证毕。
)证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性,即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动(沿轴方向),空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系:
。(1)
势能在两个参照系中的表示式有下列关系
(2)
证明schrödinger方程在参照系中表为
在参照系中表为
其中
证:由波函数的统计解释,和的意义完全相同。
, 是时刻在点找到粒子的几率密度;
,是时刻在点找到粒子的几率密度。
但是在给定时刻,给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关,所以相应的几率应相等,即
(6)
从(1)式有(6’)
由此可以得出, 和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子,所以
(7)
(7)
由(1)式, , ,
(3)式变为:
(