正规子群和群基本同态定理PPT课件.pptx

文档介绍：上一讲内容的回顾
同构与同态
循环群与生成元
循环群的子群
无限循环群与整数加群同构
有限循环群与相应的剩余加群同构
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群同态的基本定理
正规子群
商群
同态核
自然同态
群同态基本定理
同态基本定理的应用
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正规子群的概念
定义：群G的子群H是G的正规子群，当且仅当：对任意aG, Ha=aH。(记法：H⊴G)
平凡子群是正规子群。
阿贝尔群与正规子群
阿贝尔群的任何子群一定是正规子群。
Ha=aH的充分必要条件是：
对任意hiH, aG，一定存在某个hjH，使得hia=ahj。
(不是：对任意hiH, aG, 一定有hia=ahi。)
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正规子群的例子
S3, 即{1,2,3}上所有一一对应的函数构成的群：
{e,,}构成正规子群。
注意：H={e,}构成子群，但不是正规子群：
H={,}, 而H={,}
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又一个正规子群的例子
设G是群，定义G的子集H={a|aG, 对任意bG: ab=ba}，则H是正规子群。
H非空(显然单位元素eH)
封闭性：a1b=ba1, a2b=ba2(a1a2)b=b(a1a2)
子群：ab=ba  a-1b=a-1baa-1=ba-1
正规子群：ab=ba (aH)  Hb=bH
H称为G的中心。
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正规子群的判定（1）
设N是群G的子群，N是群G的正规子群当且仅当：对任意gG, nN, 有 gng-1N。
 任取gG, nN, 有n1N, 使得：gn= n1g, 因此： gng-1 = n1N ；
 先证明 gN  Ng : 任取gngN , 已知gng-1N ，可令gng-1= n1，则gn= n1gNg；类似可证：Ng gN。
设N是群G的子群，N是群G的正规子群当且仅当：对任意gG, 有 gNg-1=N。
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正规子群的判定(2)
设N是群G的子群，若G的其它子群都不与N等势，则N是G的正规子群。
只需证明： gNg-1=N。
首先证明： gNg-1是子群。
封闭性: (gn1g-1)(gn2g-1)=gng-1
子群判定条件2: (gn1g-1) (gn2g-1) -1 = (gn1g-1)(gn2-1g-1)=gng-1
其次，因为其它子群都不与N等势，因此只需证明： gNg-1≈N。
由消去率可得.
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正规子群的判定(3)
设N是群G的子群，且[G:N]=2,则N是正规子群。
注意：若gN, 则由子群满足封闭性和消去律可知：gN=Ng=N
若gN, 则gN和Ng均不可能与N有公共元素，因此： gN=Ng=G-N。
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右陪集关系
设H是群G的子群。定义G上的关系R如下：
对任意a,bG, aRb iff. ab-1H
实际上： aRb 即：a与b在同一个右陪集中。
aRbab-1H  ab-1=hi, hiH  aHb
右陪集关系是等价关系
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同余关系
狭义的同余关系：
例：对3同余: a≡b (mod 3) iff. |a-b|/3是整数。
等价类：1={…-3,0,3,6,9,…}
2={…-2,1,4,7,10,…}
3={…-1,2,5,8,11,…}
“运算按照等价类保持。”
aRb, cRd  ac R bd
同余关系
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