文档介绍：线性方程组解题方法技巧与题型归纳
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题型一 线性方程组解的基本概念
x1 x2 ax3 3
【例题1】如果al、a2是方程组2x 3x3 i 的两
2x1 ax2 10x3 4
个不同的解向量，则 a 的取值如何 解：因为al a2是方程组的两个不同的解向量， 故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab) v 3, 对增广矩阵进行初等行变换：
1 1 a 3 1 1 a 3
2 0 3 1 0 2 2a 3 5
2
2 a 10 4 0 0 2a2 3a 14 5a 10
易见仅当 a=-2 时， r(A)= r(Ab)=2v 3， 故知 a=-2。
【例题2】设A是秩为3的5X4矩阵，ai、a、a3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，若 ai+ a2+2 a3=(2 ， 0， 0， 0)T, 3 ia+a2= (2， 4， 6， 8) T,求方程组Ax=b的通解。
解:因为 r(A)= 3，所以齐次线性方程组 Ax=0 的基 础解系由 4- r(A)= i 个向量构成，
又因为(ai+ a+2 a) - (3 ai+ a) =2 ( a3- ai) = (0, -4, -6, -8) T,是 Ax=0 的解， 即其基础解系可以是( 0， 2， 3， 4) T, 由 A ( ai+ a2+2 a3) =Aai+Aa2+2Aa3=4b 知 i/4
(ai+ a+2 a)是 Ax=b 的一个解，
故Ax=b的通解是
T
1
1,0,0,0
2
T
k 0,2,3,4
【例题 3】已知 &= (-9, 1, 2, 11) T, ^2= (1,-
2人
3X1
9人
5, 13, 0) T,紀(-7, -9, 24, 11) T是方程组
a2 x2 3x3 a4x4 a
4x2 Xs c4x4
d3
b2X2 2X3 b4X4 4的三个解，求此方程组的通解
分析：求Ax=b的通解关键是求 Ax=0的基础解系， 判断r(A)的秩。
解：A是3X4矩阵，r(A) W,3由于A中第2, 3两 行不成比例，故r(A)塔2又因为
n= &-总=(-10, 6, -11, 11)T, n= I-鉀
(8,4,-11,-11)t是Ax=0的两个线性无关的解向量， 于是4- r(A)》,2因此r(A)=2,所以&+k1n+k2n是 通解。
总结：
不要花时间去求方程组，太繁琐，由于E1,E13 或E3E , E3E 2等都可以构成齐次线性方程组的基 础解系，E3都是特解，此类题答案不唯
题型2线性方程组求解
1 2 1 0 0
【例题 4】 矩阵 B 10 02 10 11 00 的各行向量都是方
0 0 1 1 0
1 2 3 2 0
x1 x2 x3 x4 x5 0
程组 3x1 2x2 x3 x4 3x5 0 的解向量， 问这四个行向量能 x2 2x3 2x4 6x5 0
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 0 否构成上方程组的基础解系若不能，这 4 个行向 量是多了还是少了若多了