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例析立体几何中的排列组合问题
春晖中学过月圆
在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应 用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大 纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计 数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举 立体几何中排列、组合问题的几个例子。
1占
1八、、
1. 1共面的点
例1 （1997年全国高考（文））
四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取 3个点，使它们和点A在同 一平面上，不同的取法有（）
A. 30种 B. 33种 C. 36种 D. 39种
解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。点A所 在的每个面中含A的4点组合有’个，点A在3个面内，共有“个组合；点 A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。 所以与点A共面的四点组合共有* '个。
答案：B
点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属 97文科试题中难度最大的选
择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的 3点与它对棱上的中点共面的情况计 算在内。
1. 2不共面的点
例2 （1997年全国高考（理））
四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
（）
A. 150种 B. 147 种 C. 144 种 D . 141 种解析：从10个点中任取4个点有’种取法，其中4点共面的情况有三类：第- 类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有 1种；第二类，取任一条棱上 的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边 形，它的4个顶点共面，有3种。
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有 氏=如衬种。
答案：D。
点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高， 很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧 及分类讨论的数学思想。
2直线
例3 （2005年全国高考卷I （理））
30对D . 36对
过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）
分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树 解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。
例：与AB异面的直线分别是 B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。
侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线；
例：与BB1异面的直线分别是 AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5 条与其异面的直线；
例：与AB1异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数
对
两遍。共有 。
法二：一个四面体中有3对异面直线，在三棱柱的六个顶点中任取四个，可构 成四面体的个数为：' ’ 故共有异面直线."'■ o
答案：D
点评：解法一是例举法，把符合要求的所有的情况全列出来，列举时一定要按 一定的次序进行，以防遗漏和重复，这一看似笨拙的方法对数目不太大的情况常给 人以清新，大智若愚之感，在近年高考中，这一方法经