文档介绍：第六章习题解答与问题
一、习题解答
用最小二乘法求解超定方程组
2x + 4y = 11
3x-5y = 3
<
x + 2y = 6
4x + 2y = 14
解：超定方程组的矩阵形式为
将方程两端同乘以系数矩阵的转置矩阵，可得正规方程组
「30
3_
X
~93~
_3
49_
_y_
69
解之，得 * = , 。
观测一个作直线运动的物体，测得以下数据:
时间t
0
距离S
0
10
30
50
80
110
在表中，时间单位为秒，距离单位为米。假若加速度为常数，求这物体的初速度和加速度。
解：设物体运动的初速度和加速度分别为vo和a,初始时刻距离为0,则距离函数为
1 ,
S(/) = Vgt + ~Clt~
用后5个点的数据作曲线拟合
t
S
10
30
50
80
110
可得，v0= , a=
用最小二乘法求一个形如y-的经验公式，使与下列数据相拟合
X
1
2
3
4
y
60
30
20
15
贝!J z = In A + Bxo 数
据变换如下
X
1
2
3
4
z = lny
山最小二乘法作线性拟合得，In A = , B = -„所以A ==故，所求经 难公式为 二 04564x o
4已知实验观测数据(花，yi) (I = L 2,…，m)o令
(p\ (x) = X
取拟合函数为
0（x） = ao0o（x） + ai® （x）
试利用曲线拟合的最小二乘法确定组合系数ao, ai （推导出计算公式）。 解：记
00=［00（兀）00 （*2）••- 0o（x,”）r
01= Wig） eg） ••- ®（x,”）r
y = lyi y2 ••- yJ
显然，00是元素全为“1”的列向量。将所有实验数据的X坐标代入拟合函数，并令其分 别等于实验数据的Y坐标值，得超定方程组
将方程组两端同乘以矩阵［00 ©r，得正规方程组
(00,00)(0o，0i)
X'
「風，y）~
_（01，00）（01，010）_
@, y)_
1 m
记x=—Yx.,由于系数矩阵中两个非对角元素为 m曰
m m
（0o，0i）= （0i ,00）=工（兀一元）=工兀—"?元=0
Z=1 1=1
所以
_風,刃 _ （©,刃
vtn — ， ⑷—
（观，观） （D
”次后，得n个近似值x 1，X2,……x,„,通常取平均值作为所 求长度的值。试用最小二乘法原理说明其理由。
解：利用最小二乘原理，设物体的长度为X,记
6k = x - X/, （ k = 1, 2, , m）
则残差平方和为
m
S（x） = ^（x —xj
k=l
为了求上面函数极小值，由极值必要条件，令S'（x） = O,得
m
Y（x-xj = o