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文档介绍

文档介绍:第六章习题解答与问题
一、习题解答
用最小二乘法求解超定方程组
2x + 4y = 11
3x-5y = 3
<
x + 2y = 6
4x + 2y = 14
解:超定方程组的矩阵形式为
将方程两端同乘以系数矩阵的转置矩阵,可得正规方程组
「30
3_
X
~93~
_3
49_
_y_
69
解之,得 * = , 。
观测一个作直线运动的物体,测得以下数据:
时间t
0





距离S
0
10
30
50
80
110
在表中,时间单位为秒,距离单位为米。假若加速度为常数,求这物体的初速度和加速度。
解:设物体运动的初速度和加速度分别为vo和a,初始时刻距离为0,则距离函数为
1 ,
S(/) = Vgt + ~Clt~
用后5个点的数据作曲线拟合
t





S
10
30
50
80
110
可得,v0= , a=
用最小二乘法求一个形如y-的经验公式,使与下列数据相拟合
X
1
2
3
4
y
60
30
20
15
贝!J z = In A + Bxo 数
据变换如下
X
1
2
3
4
z = lny




山最小二乘法作线性拟合得,In A = , B = -„所以A ==故,所求经 难公式为 二 04564x o
4已知实验观测数据(花,yi) (I = L 2,…,m)o令
(p\ (x) = X
取拟合函数为
0(x) = ao0o(x) + ai® (x)
试利用曲线拟合的最小二乘法确定组合系数ao, ai (推导出计算公式)。 解:记
00=[00(兀)00 (*2)••- 0o(x,”)r
01= Wig) eg) ••- ®(x,”)r
y = lyi y2 ••- yJ
显然,00是元素全为“1”的列向量。将所有实验数据的X坐标代入拟合函数,并令其分 别等于实验数据的Y坐标值,得超定方程组
将方程组两端同乘以矩阵[00 ©r,得正规方程组
(00,00)(0o,0i)
X'
「風,y)~
_(01,00)(01,010)_
@, y)_
1 m
记x=—Yx.,由于系数矩阵中两个非对角元素为 m曰
m m
(0o,0i)= (0i ,00)=工(兀一元)=工兀—"?元=0
Z=1 1=1
所以
_風,刃 _ (©,刃
vtn — , ⑷—
(观,观) (D
”次后,得n个近似值x 1,X2,……x,„,通常取平均值作为所 求长度的值。试用最小二乘法原理说明其理由。
解:利用最小二乘原理,设物体的长度为X,记
6k = x - X/, ( k = 1, 2, , m)
则残差平方和为
m
S(x) = ^(x —xj
k=l
为了求上面函数极小值,由极值必要条件,令S'(x) = O,得
m
Y(x-xj = o

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