文档介绍：线性代数串讲:
工1 + arx2 + a^x3 =菊
设■方^旱绢 v X1 + a2X2 +。2*3 = a2
xx + a3x2 + ajx3 = al
xx + a4x2 += £
证明：若ax,a2,a3,a4两两不相等，则此方程组无解；
设％ = a3 = k,a2= a4= -k(k 0),且已知角腐是方程组的两个解,
其中A = [-i,i,ur, A = [i,i,-ur，写出此方程组的通解。
需要掌握的东西：
熟练掌握矩阵用初等行变换化阶梯形；
熟练掌握用Gauss-Jordan消元法对线性方程组的解进
行判别与求解。
矩阵的初等行变换：
用一个非零数乘某一行的全部元素；
一行的倍数加到另一行上；
互换两行的位置；
一个事实：任一矩阵均可通过有限次初等行变换化为阶梯形
矩阵。
解的判断准则：就阶梯形方程组而言
有矛盾方程：无解；
无矛盾方程：有解；
方程个数=未知数个数：解唯一；
方程个数〈未知数个数：解无穷多。
、
。1 1) 「10 1、
已知矩阵 4= 121,8=011, M AXA1 = 2XA-1 + BA^ ,
j 3 [1 11,
求X。
熟练掌握矩阵的基本运算与性质；加法、数量乘法、乘法 (幕)、逆、转置等混合运算
熟练掌握方阵可逆的有关结论；可逆性的判别、逆矩阵
的计算、解矩阵方程
掌握矩阵分块方法简化矩阵的运算；
理解正交单位向量组、正交矩阵；欧氏空间的标准正交
基，掌握Gram-Schmidt正交化方法
矩阵的基本运算、单位矩阵、数量矩阵、转置、正交矩阵、 可逆矩阵、对角矩阵、三角矩阵
矩阵的秩的性质总结：
尸(AB) < min{尸(A),’(B)}
r(AAr) = r(ArA) = r(A) = r(Ar)
r(A + B) < r(A) + r(B)
r(A) 一 r(B) < r(A 一 B)
伴随矩阵：n阶矩阵A, AA* = 4*4 = |4|1；若A可逆,
关于A可逆的等价说法：
A可逆；
A 满秩，即 rank(A)=n；
\A\。0
A的(行)列向量组线性无关.
求逆矩阵:
12 3
A =
4 5 6
7 8 10
12 3
10 0
[A 1 =
4 5 6
0 10
7 8 10
0 0 1
R3+(-7)R]
12 3
1 0 01
驾+(-4)&)
0 -3 -6
-4 10
0 -6 -11
-7 0 1
12 3
1 0 o-
%+(-2)& :
0 -3 -6
-4 10
0 0 1
1-2 1
%+(-3)7?3
12 0
-2 6 -3'
&+6氏3 )
0-3 0
2 -11 6
0 0 1
1-2 1
%+翎—— >
10 0
0-3 00 0 1
2 4 ]
'3 ~32 -11 6 1-2 1
行列式计算的常用方法：
（1） 对角线算法；
（2） 利用行列式的性质；
（3） 变形为三角形行列式;
（4） 降低行列式的阶数；
（5） 利用与矩阵的关系。
关于行列式的计算：
（1） ⑷=\At\,
（2） 一个数乘以行列式等于用这个数去乘行列式的某一行
（或者某一列），
（3） 两行（或者两列）互换行列式反号，
（4） 两行（或者两列）相同行列式的值为零，
（5） 两行（或者两列）成比例行列式的值为零，
（6） 将某一行（或者某一列）的倍数加到另一行（或者另 一列）上行列式的值不变
（7） A, B 为 n 阶矩阵，\AB\ = \A\\B\
（8） 行列式按行（列）展开
正交矩阵：AAt = AtA = I
Gram-Schmidt正交化方法
三、
已知A是 mxn 矩阵， n>m , r（A） = m ； B是 nx（n-m） 矩阵, r（B） = n-m,且AB = ：3的列向量组为线性方程组AX = 0 的一个基础解系.
已知％ = （2,—2,4,6）『，a2=（-2,l,0,3）r, 0,=（3,0,2,-1）『，％ = （1,-3,2,4）『
（1） 求向量组名,％,%,%的秩和一个极大无关组；
（2） 用所求的极大无关组线性表出剩余向量。
在实数域上的二阶矩阵构成的线性空间中,
（1）求基底匕=
'1 0、
、0 0>
。3、J 0>
'0 1、、0 0,
‘0 0、J 0>
‘0 0、、0 b
到基底
/ 2 1、
"1 b（2）求非零矩阵4使A在这两组基下的坐标相等.
'5 3、、2 b