高等数学北大二多元函数的微分中值定理与泰勒公式PPT课件.pptx

文档介绍：即
设
)
,
(
y
x
f
z
=
在点
)
,
(
0
0
y
x
的某一邻域内连续
且有直到
1
+
n
阶的连续偏导数
,
为此邻域内任一点
,
能否把函数
近似地表达为
的
n
次多项式，
且误差是当
时比
n
r
高阶的无
穷小．
0
0
,
y
y
x
x
-
=
-
=
一元函数的泰勒公式中令n=0,得拉格朗日中值公式：
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1. 二元函数的微分中值定理
定理1 (二元函数的拉格朗日中值公式)
或写成
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证
有链规则得
另一方面，又一元函数的拉格朗日中值定理，可以推
出，存在一个 ， ，使得
即
证毕.
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推论 若函数z=f(x,y)在区域D 内具有连续的偏导数且
满足 证明：f(x,y)在D内为一常数.
证
于是有
即f(x,y)在D内为
一常数.
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函数 在一点 的 阶微分为:
如：
2. 二元函数的泰勒公式
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利用这种记号拉格朗日种值公式可写成：
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定理２
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证
显然由链规则
且
递推地得到
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其中
--- 拉格朗日余项
则
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令
所以
二元函数的带皮亚诺 型的泰勒公式
泰勒多项式
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