文档介绍：同济五版线配套相似矩阵及对角化4
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课 题
§5。5二次型及其标准形—§5。7正定二次型
教学内容
二次型及其标准形，用配方法化二次型成标准形,正定二次型
教学目标
掌握二次型、二次型的标准形等概念；
会用正交变换法及配方法将二次型化为标准形；
掌握正定二次型与正定矩阵的概念并能够判断二次型﹑实对称阵是否为正定的.
教学重点
用正交变换法化二次型为标准型；用配方法化二次型为标准型;
判定二次型的正定性
教学难点
将二次型问题转化为实对称阵对角化问题
双语教学内容、安排
实二次型：Real quadratic form； 正交化：orthogomalization
教学手段、措施
教学过程及教学设计
备注
§5。5二次型及其标准形
一、概念
n 个变量 x1 , x2 ， ……， x n 的二次齐次函数
f (x1 ， x2 ， ……, xn ) =
称为二次型.
2、 二次型的矩阵表示法
于是（1）式可写成
f （x1 , x2 , ……， xn ）
对二次型 (1) ，记
则二次型 (1） 又表示为f （x1 , x2 , ……， xn ）=
引入：对二次曲线做变化
对于n 元的二次齐次多项式，能否存在一个线性变换将其变为只含平方项的二次齐次多项式
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其中 A 为对称矩阵，叫做二次型 f (x1 ， x2 ， ……, xn ) 的矩阵，也把 f （x1 ， x2 ， ……, xn ） 叫做对称矩阵 A 的二次型。
对称矩阵 A 的秩， 叫做二次型 f （x1 , x2 ， ……, xn ） = xTA x 的秩.
二次型 f （x1 , x2 ， ……， xn )经过可逆的线性变换
即用（3） 代入 (1) ，还是变成二次型。
可逆线性变换 （3),记作x = C y , 把可逆的线性变换 x = C y 代入二次型 f = xTA x , 得二次型
f = xTA x = （C y)TA（C y） = yT（C TAC ) y
就是说，若原二次型的矩阵为 A ，那么新二次型的矩阵为CTAC , 其中 C 是所用可逆线性变换的矩阵．
例 1 用矩阵记号表示二次型
解 二次型的矩阵为
那么
f (x1 , x2 , ……, xn )
g(y1 , y2 , ……, yn )
x = C y
可逆线性变换
( AT = ) A
B ( = BT )
C TAC =
定理 设有可逆矩阵 C ,使 B = CTAC ,如果 A为对称矩阵,则B也为对称矩阵，且R（A) = R（B) 。
证 因为 A 是对称矩阵， 即 AT = A，所以
BT = ( CTAC ）T = CTAT(CT)T = CTATC = B ,
即 B 为对称矩阵.
因为 B = CTAC ,所以R(B） ≤R(AC） ≤R（A) 。 因为A=( CT ）–1BC –1，
所以 R(A) ≤R（ BC —1) ≤R(B) ， 故得 R（A) = R（B）.
思考:那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵 A 的关系是什么？
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二、将二次型化为标准形
主要问题：求可逆的线性变换
将二次型 （1） 化为只含平方项，即用(3) 代入 (1） ,能使
f （x