文档介绍：§ 立体几何中的向量方法
要点梳理
（1）直线的方向向量：在直线上任取一 向
量作为它的方向向量.
（2）平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是
α内两不共线向量，n为平面α的法向量，
则求法向量的方程组为
非零
.
基础知识 自主学****br/>1
(1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2，
则l1与l2所成的角θ满足 .
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别
为m,n，则直线l与平面α所成角θ满足
.
(3)求二面角的大小
①如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面
内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ= .
cos θ=|cos〈m1,m2〉|
sin θ=|cos〈m,n〉|
2
② 如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两
个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足
cos θ= .
cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉
3
如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的
法向量,则B到平面α的距离d= .
4
基础自测
,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=
(-6,9,6)，则( )
∥l2 ⊥l2
解析 ∵a·b=-12+36-24=0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
B
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（1，-1，2），平面α
的一个法向量是n=（6，-3，6），则下列点P中
在平面α内的是( )
（2，3，3） （-2，0，1）
（-4，4，0） （3，-3，4）
解析 ∵n=（6，-3，6）是平面α的法向量，
∴n⊥ ，在选项A中， =（1，4，1），
∴n· =0.
A
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=（0，1，0），
n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为( )
° °
°或135° °
解析
即〈m,n〉=45°，其补角为135°.
∴两平面所成二面角为45°或135°.
C
7
，在空间直角坐标系中，
有一棱长为a的正方体ABCO—
A′B′C′D′，A′C的中点E
与AB的中点F的距离为( )
A. B. D.
解析 由图易知A（a,0,0）,B（a,a,0）,
C（0，a，0），A′(a,0,a).
B
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=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).
若c与a及b都垂直，则m,n的值分别为( )
A.-1,2 ,-2
,2 D.-1,-2
解析 由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),
故a·c=3m+n+1=0，b·c=m+5n-9=0.
A
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题型一 利用空间向量证明平行与垂直
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，
PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
：
(1)AE⊥CD;
(2)PD⊥平面ABE.
题型分类 深度剖析
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